令和元年１１月２３日（祝）、筑波大学附属駒場中学・高校を会場に教科研究会が開かれ
参加してきた。

　（ａ＋ｂ）²−（ａ−ｂ）²＝４ａｂ

は、乗法公式を学んだあとによくある練習問題である。今日の研究会では、この公式が大
活躍をした。

　研究授業では、対戦型ゲームの様相で展開されたが、要点は次のようである。

１．　１０から３０までの自然数から１つの自然数ｎを選ぶ。（攻撃側）

２．　そのｎを、ｎ＝ａ＋ｂ　と分解する。（防御側）

　　ただし、ａ、ｂは、３以上２７以下の相異なる自然数とする。

３．　２．のａ、ｂについて、ａｂ＝Ａ²−Ｂ² となる５０以下の自然数の組（Ａ，Ｂ）はあるか？

　　組（Ａ，Ｂ）を見つけられれば、攻撃側の勝利、見つけられないときは、防御側の勝利と
　なる。

例　例えば、「１１」を攻撃側が選んだとき、防御側は、１１＝５＋６　と分解する。このとき、

　　５・６＝３０　を、３０＝Ａ²−Ｂ² となる５０以下の自然数の組（Ａ，Ｂ）は決して存在しない。

　　よって、この場合は、防御側の勝利となる。

　授業の方は、必ず勝てる数の探究に進んだ。

　実は、乗法公式　（ａ＋ｂ）²−（ａ−ｂ）²＝４ａｂ　から、

　　ａｂ＝{（ａ＋ｂ）/２}²−{（ａ−ｂ）/２}²　より、　Ａ＝（ａ＋ｂ）/２　、Ｂ＝（ａ−ｂ）/２　と書ける。

　もし、ｎが偶数ならば、ａ、ｂは、ともに偶数　または　ともに奇数なので、自然数Ａ、Ｂは必ず
存在する。（すなわち、攻撃側が偶数を選ぶと必ず勝てるということである。）

　もし、ｎが奇数ならば、偶数ａ＋奇数ｂなので、その積ａｂは必ず偶数となる。

　偶数ａが４の倍数のとき、ａｂ＝（ａ/２）（２ｂ）で、ａ/２、２ｂがともに偶数となり、自然数Ａ、Ｂ
は必ず存在する。
（即ち、防御側が４の倍数ａと奇数ｂを選ぶと必ず攻撃側が勝つということである。）

　したがって、ｎが奇数ならば、防御側が勝利するためには、偶数ａが４で割って２余る数を
選べばよい。

　実際に、このとき、ａｂも４で割って２余る数となり、その数が平方の差の形で表されること
はない。

　４で割った余りは、０、１、２、３の４通りあるが、これらを平方して４で割った余りは、０、１

　このとき、４を法として、　０−０≡０　、１−０≡１　、０−１≡３　、１−１≡０　で、２は出現
しないからである。

　冒頭の例で、「１１」に対して、１１＝６＋５と、「６」と「５」が選ばれたのは、「６」が４で割って
２余る数だからである。そうすると、攻撃側は、決して、３０＝Ａ²−Ｂ² となる５０以下の自然
数の組（Ａ，Ｂ）を得ることが出来ず、防御側の勝利となったのである。


（コメント）　この授業は、中学２年生を対象に行われたものであるが、授業内で生徒自身が
　　　　　　「４で割って２余る数」に言及し、上記と同様の推論を行っていた。中学２年にして
　　　　　　筑駒生、恐るべし！である。今日は、本当にいいものを見させていただきました。