通りある。
これを、１〜１６の数を４個ずつ四組に分け、どの組の四個の和も４の倍数になる分け方を
調べたら、３１８７通りになりました。自信がありません。
（コメント） １〜９の数を、３で割った余りで分類して、
余り０： ３、６、９ 余り１： １、７、４ 余り２： ２、８、５
三組に分け、それぞれの和が３の倍数になるためには、余りが、
（０００）、（１１１）、（２２２） または （０１２）、（０１２）、（０１２）
となればよい。
（０００）、（１１１）、（２２２）となる場合は、（３６９）、（１４７）、（２５８）の１通りしかない。
（０１２）、（０１２）、（０１２）となる場合は、まず余り０の数３、６、９を三組に分け、その三組
に、余り１の３数１、７、４を振り分ける場合の数は、３！＝６通りで、その１通りに対して、余
り２の３数２、８、５を振り分ける場合の数は、３！＝６通りなので、 ３！×３！＝３６通り
以上から、求める場合の数は、 １＋３６＝３７（通り）
らすかるさんからのコメントです。（令和元年１１月１５日付け）
プログラムを作って調べたところ、４３５６１通りでした。
# その前に手計算しましたが、場合分けを一つ落としていました。よって、今は計算式も書け
ます。
ｋｓさんからのコメントです。（令和元年１１月１６日付け）
らすかるさん、いつも速いご指導ありがとうございます。再度計算しても足りませんでした。
剰余に直して、異なるものとして計算したのですが．．．。
(００００)(１１１１)(２２２２)(３３３３)のとき、１通り
(００００)(２２２２)(１１３３)(１１３３)のとき、１８通り
(００００)(１３２２)(１３２２)(１１３３)のとき、４３２通り
(１１１１)(００２２)(００２２)(３３３３)のとき、１８通り
(１１２０)(１１２０)(００２２)(３３３３)のとき、４３２通り
(００２２)(００２２)(１１３３)(１１３３)のとき、３２４通り
(００１３)(００１３)(１３２２)(１３２２)のとき、１２９６通り
(００２２)(００１３)(１１３３)(１３２２)のとき、１２９６通り
(１１２０)(１１２０)(３３２０)(３３２０)のとき、１２９６通り
(００２２)(１１１１)(０２３３)(０２３３)のとき、４３２通り
(００１３)(００１３)(１１３３)(２２２２)のとき、４３２通り
恐縮です。
らすかるさんからのコメントです。（令和元年１１月１６日付け）
１２９６通りになっている３つ(７行目〜９行目)は、すべて、５１８４通りです。その他の行の
計算は合っていますが、場合分けで、以下の２通りが抜けています。
(００１３)(１１２０)(１３２２)(３３２０)
(００２２)(１１２０)(１１３３)(３３２０)
何通りか求めるのは宿題にしましょう。
ｋｓさんからのコメントです。（令和元年１１月１６日付け）
有難うございました。20736と5184を加え、また訂正して、正解にたどり着きました。
ふー、スッキリ、ペコリ、反省。
らすかるさんからのコメントです。（令和元年１１月１６日付け）
1〜9を3個の合計が3の倍数となる3組に分けるのは、剰余の場合分けが2パターンで総数
は37通り
1〜16を4個の合計が4の倍数となる4組に分けるのは、剰余の場合分けが13パターンで総
数は43561通り
だったわけですが、その先が気になったので調べました。
1〜25を5個の合計が5の倍数となる5組に分けるのは、剰余の場合分けが321パターンで
総数は8315400001通り
1〜36を6個の合計が6の倍数となる6組に分けるのは、剰余の場合分けが122689パターン
で総数は476006187888074376通り
1〜49を7個の合計が7の倍数となる7組に分けるのは、剰余の場合分けが374838220パタ
ーンで総数は12418612896347225086310878521通り
1〜25までは人力で出来なくはないと思いますが、その先は爆発的に増えて無理ですね。
たった5項の少ないデータから実験的に導出した式なのでかなりいいかげんですが、総数
が、
37Π[k=1〜n-1]{(k-1)!(k+9)!(9^k)(13k+7)/557000}程度
となり、値が指数関数どころではない増え方をしています。
パターン数の 2,13,321,122689,374838220
総数の 37,43561,8315400001,476006187888074376,12418612896347225086310878521
は、いずれもOEISに載っていませんので新規に載せたいところですが、これを英語化する能
力は私にはありませんので、残念ながら載せられません。
（コメント） １３通りの場合について、計算してみました。（令和元年１１月１７日付け）
(００００)(１１１１)(２２２２)(３３３３)のとき、明らかに、１通り
(００００)(２２２２)(１１３３)(１１３３)のとき、 （4Ｃ2/２！）×4Ｃ2＝１８通り
(００００)(１３２２)(１３２２)(１１３３)のとき、 （4Ｃ2/２！）×4Ｃ2×4Ｃ2×２！×２！＝４３２通り
(００２２)(００２２)(１１１１)(３３３３)のとき、 （4Ｃ2/２！）×4Ｃ2＝１８通り
(００２２)(００２２)(１１３３)(１１３３)のとき、 （4Ｃ2/２！）×（4Ｃ2/２！）×4Ｃ2×4Ｃ2＝３２４通り
(００２２)(００１３)(１１３３)(１３２２)のとき、 4Ｃ2×4Ｃ2×4Ｃ2×4Ｃ2×２！×２！＝５１８４通り
(００１３)(００１３)(１１３３)(２２２２)のとき、 （4Ｃ2/２！）×4Ｃ2×２！×4Ｃ2×２！＝４３２通り
(００２２)(１１２０)(１１２０)(３３３３)のとき、 （4Ｃ2/２！）×4Ｃ2×２！×4Ｃ2×２！＝４３２通り
(００２２)(１１１１)(０２３３)(０２３３)のとき、 （4Ｃ2/２！）×4Ｃ2×２！×4Ｃ2×２！＝４３２通り
(００１３)(００１３)(１２２３)(１２２３)のとき、 （4Ｃ2/２！）×（4Ｃ2/２！）×４！×４！＝５１８４通り
(０２３３)(０２３３)(０１１２)(０１１２)のとき、 （4Ｃ2/２！）×（4Ｃ2/２！）×４！×４！＝５１８４通り
(００１３)(０１１２)(１２２３)(０２３３)のとき、
4Ｃ2×２！×4Ｃ2×２！×4Ｃ2×２！×4Ｃ2×２！＝２０７３６通り
(００２２)(１１２０)(１１３３)(３３２０)のとき、 4Ｃ2×4Ｃ2×4Ｃ2×4Ｃ2×２！×２！＝５１８４通り
以上から、求める場合の数は、
１＋１８×２＋３２４＋４３２×４＋５１８４×４＋２０７３６＝４３５６１通り
＃それぞれの場合の数の計算はなんでもないですが、該当する場合を漏れなくすべて列挙
するというのは間違えそうですね！
