１２３４ から ４３２１までの ４！＝２４（通り）ある。
１、２、３、・・・、ｎ の並べ方に条件をつけて、増減増減・・・ となる場合を考える。
例えば、１３２４、１４２３、・・・のように数字が乱高下するような場合の数は何通りあるだろ
うか？計算すると、わずか５通りしかない。
そこで、この問題を定式化しておこう。
１からｎまでの数を並べた数列｛ａｎ｝に対して、
ａ1＜ａ2＞ａ3＜ａ4＞ａ5＜ａ6＞ａ7＜・・・
という条件を満たす数列を、ジグザグ順列と名付ける。
※ジグザグとは、Z字状に直線が何度も折れ曲がっている状態をいう。
例 ｎ＝１ のとき、ジグザグ順列は、自明な１通りしかない。
ｎ＝２ のとき、１２の１通りしかない。
ｎ＝３ のとき、１３２、２３１の２通りしかない。
ｎ＝４ のとき、１３２４、１４２３、２３１４、２４１３、３４１２の５通りしかない。
ｎ＝５ のとき、１３２５４、１４２５３、１４３５２、１５２４３、１５３４２、２３１５４、２４１５３、
２４３５１、２５１４３、２５３４１、３４１５２、３４２５１、３５１４２、３５２４１、
４５１３２、４５２３１ の１６通り
一般に、次の公式が知られている。
１〜ｎまでのｎ個の自然数のジグザグ順列の数をＪｎとおく。
ｎは奇数番目にはこない。もしも、奇数番目にくると仮定すると、
奇数番目の数＜偶数番目の数＞奇数番目の数
なので、ｎが最大であることから矛盾が生じる。
ｎが２ｋ番目に位置するジグザグ順列の数は、
n-1Ｃ2k-1・Ｊ2k-1・Ｊn-2k
で与えられる。これを示すのは易しい。実際に、
ｎが２ｋ番目に位置するとすると、１番目から２ｋ−１番目までの２ｋ−１個の数の選び方は、
ｎ個からｎを除いたｎ−１個から選ぶので、その場合の数は、n-1Ｃ2k-1通り
その１通りに対して、２ｋ−１個のジグザグ順列の数は、Ｊ2k-1通り
その１通りに対して、残りのｎ−２ｋ個のジグザグ順列の数は、Ｊn-2k通り
したがって、ｎが２ｋ番目に位置するジグザグ順列の数は、
n-1Ｃ2k-1・Ｊ2k-1・Ｊn-2k
となる。ｋ＝１、２、・・・、［ｎ/２］に対する総和がＪｎである。すなわち、
Ｊｎ＝Σk=1［n/2］ n-1Ｃ2k-1・Ｊ2k-1・Ｊn-2k
例 上記の例の結果から、Ｊ1＝１、Ｊ2＝１、Ｊ3＝２、Ｊ4＝５、Ｊ5＝１６ である。
公式を適用してみると、
Ｊ2＝1Ｃ1・Ｊ1・Ｊ0＝１・１・Ｊ0＝１ より、 Ｊ0＝１
Ｊ3＝2Ｃ1・Ｊ1・Ｊ1＝２・１・１＝２
Ｊ4＝3Ｃ1・Ｊ1・Ｊ2＋3Ｃ3・Ｊ3・Ｊ0＝３・１・１＋１・２・１＝５
Ｊ5＝4Ｃ1・Ｊ1・Ｊ3＋4Ｃ3・Ｊ3・Ｊ1＝４・１・２＋４・２・１＝１６
で確かに一致している。この調子で、Ｊ6、Ｊ7を求めてみよう。
Ｊ6＝5Ｃ1・Ｊ1・Ｊ4＋5Ｃ3・Ｊ3・Ｊ2＋5Ｃ5・Ｊ5・Ｊ0
＝５・１・５＋１０・２・１＋１・１６・１＝２５＋２０＋１６＝６１
同様にして、
Ｊ7＝6Ｃ1・Ｊ1・Ｊ5＋6Ｃ3・Ｊ3・Ｊ3＋6Ｃ5・Ｊ5・Ｊ1
＝６・１・１６＋２０・２・２＋６・１６・１＝２７２
が得られる。
１，１，１，２，５，１６，６１，２７２，・・・ をオンライン整数列大辞典に問い合わせると、
「A000111」が早速ヒットした。ここで、次の事実は興味深い。
ｔａｎ(ｘ) と １/ｃｏｓ(ｘ) のマクローリン展開は、
ｔａｎ(ｘ)＝ｘ＋ｘ3/３＋２ｘ5/１５＋１７ｘ7/３１５＋・・・
１/ｃｏｓ(ｘ)＝１＋ｘ2/２＋５ｘ4/２４＋６１ｘ6/７２０＋・・・
よって、
ｔａｎ(ｘ)＋１/ｃｏｓ(ｘ)＝１＋ｘ＋ｘ2/２＋ｘ3/３＋５ｘ4/２４＋２ｘ5/１５＋６１ｘ6/７２０＋・・・
そこで、 Ｊ0/０！＋Ｊ1ｘ/１！＋Ｊ2ｘ2/２！＋Ｊ3ｘ3/３！＋Ｊ4ｘ4/４！＋Ｊ5ｘ5/５！＋・・・
と係数比較して、
Ｊ0/０！＝１、Ｊ1/１！＝１、Ｊ2/２！＝１/２、Ｊ3/３！＝１/３、Ｊ4/４！＝５/２４、
Ｊ5/５！＝２/１５ 、・・・ より、
Ｊ0＝１ 、Ｊ1＝１ 、Ｊ2＝１ 、Ｊ3＝２ 、Ｊ4＝５ 、Ｊ5＝１６ 、・・・
となり、全く一致しているように思える。
以下、工事中！
