1,2,3,4,5,･･･ を出現させるには、
x/(x-1)^2=x+2*x^2+3*x^3+4*x^4+5*x^5+6*x^6+･･･
(x^2-x+1)/(x-1)^2=1+x+2*x^2+3*x^3+4*x^4+5*x^5+･･･
1,3,5,7,9,･･･ が出現には、
(x+1)/(x-1)^2=1+3*x+5*x^2+7*x^3+9*x^4+11*x^5+･･･
などが密接につながっている。
ある程度規則的に数が出現するなら、それらを係数にする母関数なるものは作れそうな
気もしますが、不規則の代表で素数について考えてみる。
これを係数に持つ関数として、
1+2*x+3*x^2+5*x^3+7*x^4*11*x^5+13*x^6+17*x^7+19*x^8+23*x^9+29*x^10+･･･
までが一致できる母関数をどのような姿にすればいいでしょうか？
（x^11以降では係数は素数と不一致になっていても構いません。）
らすかるさんからのコメントです。（令和元年１０月７日付け）
うまい作り方とか知りませんので適当に作っただけですが、例えば
{(1-x^2+2x^3)(1+x+x^2+4x^10)}/{(1+x)(1-x)^2}
でどうでしょう。
ＧＡＩさんからのコメントです。（令和元年１０月７日付け）
すごい！ピッタリと条件を満たしていますね。この適当という表現がこころにくいです。
ある人のアイゼンシュタイン級数を積の形に変形させるプログラムをやっとの思いで分析
していたら、もしかして例の様な問題にも解決できる手段が取れるのではないかと挑戦して
みたテーマでした。
その方法によると、私が手に入れた結果は、
(1-x^6)^3*(1-x^8)^4*(1-x^10)^3/((1-x)^2*(1-x^3)*(1-x^5)^2*(1-x^7)^2*(1-x^9)^4)
という少々長いものになってしまいました。よかったら考え方の粗筋でも示して下さい。
らすかるさんからのコメントです。（令和元年１０月７日付け）
考え方の粗筋
1/(1-x)=1+x+x^2+x^3+…なので、
x/(1-x)=x+x^2+x^3+x^4+…
x^2/(1-x)=x^2+x^3+x^4+x^5+…
・・・
これを使って、
1+2x+3x^2+5x^3+7x^4+11x^5+13x^6+17x^7+19x^8+23x^9+29x^10+…
=(1+x+x^2+x^3+…)+(2-1)(x+x^2+x^3+x^4+…)+(3-2)(x^2+x^3+x^4+x^5+…)
+(5-3)(x^3+x^4+x^5+x^6+…)+(7-5)(x^4+x^5+x^6+x^7+…)+…
={1+(2-1)x+(3-2)x^2+(5-3)x^3+(7-5)x^4+…}/(1-x)
=(1+x+x^2+2x^3+2x^4+4x^5+2x^6+4x^7+2x^8+4x^9+6x^10+…)/(1-x) … (1)
(分子)
=(1+x+x^2+x^3+…)+(x^3+x^4+3x^5+x^6+3x^7+x^8+3x^9+5x^10)+…
=(1+x+x^2+x^3+…)+x^3(1+x+x^2+x^3+…)+(2x^5+2x^7+2x^9+4x^10)+…
=(1+x+x^2+x^3+…)+x^3(1+x+x^2+x^3+…)+2x^5(1+x^2+x^4+…)+4x^10+…
=1/(1-x)+x^3/(1-x)+2x^5/(1-x^2)+4x^10+…
なので、
(1)
={1/(1-x)+x^3/(1-x)+2x^5/(1-x^2)+4x^10+…}/(1-x)
={(1+x)+x^3(1+x)+2x^5+4x^10(1-x^2)+…}/{(1-x)(1-x^2)}
=(1+x+x^3+x^4+2x^5+4x^10-4x^12+…)/{(1+x)(1-x)^2}
だいぶ短くなりましたが、あと一工夫。
分子にx^13以上の項は自由に足してよいので、適当にax^13を足してみると、8x^13を足す
ことで因数分解できることがわかります。
1+x+x^3+x^4+2x^5+4x^10-4x^12+8x^13=(1-x^2+2x^3)(1+x+x^2+4x^10)
なので、因数分解しても少ししか短くなりませんが、
(1+x+x^3+x^4+2x^5+4x^10-4x^12+…)/{(1+x)(1-x)^2}
={(1-x^2+2x^3)(1+x+x^2+4x^10)}/{(1+x)(1-x)^2}
となりました。
# 6x^13を引いても因数分解できますが、かえって長くなります。他にも加算して因数分解でき
るようなものがいろいろありますが、長くなるばかりでなかなか短くなるものはありません。
