・数学的帰納法                          S.H 氏

  自然数に関する命題の証明には、数学的帰納法が有効である。...が、熟練しないと
なかなか難しい問題も存在する。次の問題は、そんなタイプの問題でしょう。

問題 すべての自然数nについて、

 1・n+2・(n−1)+・・・+(n−1)・2+n・1=(1・2+2・3+・・・+n・(n+1))/2

が成り立つことを示せ。

(解) 左辺=Σk=1n k・(n−(k−1))=(n+1)Σk=1n k−Σk=1n2

  =n(n+1)2/2−n(n+1)(2n+1)/6

  =n(n+1)(3n+3−2n−1)/6

  =n(n+1)(n+2)/6

 右辺=Σk=1n k・(k+1)/2

  =(Σk=1n2+Σk=1n k)/2

  =(n(n+1)(2n+1)/6+n(n+1)/2)/2

  =n(n+1)(2n+1+3)/12

  =n(n+1)(n+2)/6

 したがって、

 1・n+2・(n−1)+・・・+(n−1)・2+n・1=(1・2+2・3+・・・+n・(n+1))/2

が成り立つ。  (終)


(コメント) 上記の問題はΣ計算で示された。最初、数学的帰納法で示そうとしたが、中々
      うまくいかず困った。ようやく数学的帰納法による証明にたどり着くことができた。

n=1のとき、 左辺=1・1=1 右辺=1・2/2=1 より、n=1のとき成り立つ。

n=k(k≧1)のとき成り立つと仮定する。すなわち、

 1・k+2・(k−1)+・・・+(k−1)・2+k・1=(1・2+2・3+・・・+k・(k+1))/2

n=k+1のとき、

 1・(k+1)+2・k+・・・+k・2+(k+1)・1=(1・2+2・3+・・・+k・(k+1)+(k+1)(k+2))/2

が成り立つことを示せばよい。

 (1・2+2・3+・・・+k・(k+1)+(k+1)(k+2))/2

=1・k+2・(k−1)+・・・+(k−1)・2+k・1+(k+1)(k+2)/2


1・(k+1)+2・k+・・・+k・2+(k+1)・1

=1・k+1+2・(k−1)+2+・・・+k・1+k+k+1

=1・k+2・(k−1)+・・・+(k−1)・2+k・1+1+2+・・・+k+(k+1)

=1・k+2・(k−1)+・・・+(k−1)・2+k・1+(k+1)(k+2)/2

 よって、n=k+1のとき成り立つ。

 以上から、すべての自然数nについて、

 1・n+2・(n−1)+・・・+(n−1)・2+n・1=(1・2+2・3+・・・+n・(n+1))/2

が成り立つ。



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