自然数に関する命題の証明には、数学的帰納法が有効である。．．．が、熟練しないと
なかなか難しい問題も存在する。次の問題は、そんなタイプの問題でしょう。

問題　すべての自然数ｎについて、

　１・ｎ＋２・（ｎ−１）＋・・・＋（ｎ−１）・２＋ｎ・１＝（１・２＋２・３＋・・・＋ｎ・（ｎ＋１））/２

が成り立つことを示せ。

（解）　左辺＝Σ_k=1ⁿ ｋ・（ｎ−（ｋ−１））＝（ｎ＋１）Σ_k=1ⁿ ｋ−Σ_k=1ⁿ ｋ²

　　＝ｎ（ｎ＋１）²/２−ｎ（ｎ＋１）（２ｎ＋１）/６

　　＝ｎ（ｎ＋１）（３ｎ＋３−２ｎ−１）/６

　　＝ｎ（ｎ＋１）（ｎ＋２）/６

　右辺＝Σ_k=1ⁿ ｋ・（ｋ＋１）/２

　　＝（Σ_k=1ⁿ ｋ²＋Σ_k=1ⁿ ｋ）/２

　　＝（ｎ（ｎ＋１）（２ｎ＋１）/６＋ｎ（ｎ＋１）/２）/２

　　＝ｎ（ｎ＋１）（２ｎ＋１＋３）/１２

　　＝ｎ（ｎ＋１）（ｎ＋２）/６

　したがって、

　１・ｎ＋２・（ｎ−１）＋・・・＋（ｎ−１）・２＋ｎ・１＝（１・２＋２・３＋・・・＋ｎ・（ｎ＋１））/２

が成り立つ。　　（終）


（コメント）　上記の問題はΣ計算で示された。最初、数学的帰納法で示そうとしたが、中々
　　　　　　うまくいかず困った。ようやく数学的帰納法による証明にたどり着くことができた。

ｎ＝１のとき、　左辺＝１・１＝１　右辺＝１・２/２＝１　より、ｎ＝１のとき成り立つ。

ｎ＝ｋ（ｋ≧１）のとき成り立つと仮定する。すなわち、

　１・ｋ＋２・（ｋ−１）＋・・・＋（ｋ−１）・２＋ｋ・１＝（１・２＋２・３＋・・・＋ｋ・（ｋ＋１））/２

ｎ＝ｋ＋１のとき、

　１・（ｋ＋１）＋２・ｋ＋・・・＋ｋ・２＋（ｋ＋１）・１＝（１・２＋２・３＋・・・＋ｋ・（ｋ＋１）＋（ｋ＋１）（ｋ＋２））/２

が成り立つことを示せばよい。

　（１・２＋２・３＋・・・＋ｋ・（ｋ＋１）＋（ｋ＋１）（ｋ＋２））/２

＝１・ｋ＋２・（ｋ−１）＋・・・＋（ｋ−１）・２＋ｋ・１＋（ｋ＋１）（ｋ＋２）/２


１・（ｋ＋１）＋２・ｋ＋・・・＋ｋ・２＋（ｋ＋１）・１

＝１・ｋ＋１＋２・（ｋ−１）＋２＋・・・＋ｋ・１＋ｋ＋ｋ＋１

＝１・ｋ＋２・（ｋ−１）＋・・・＋（ｋ−１）・２＋ｋ・１＋１＋２＋・・・＋ｋ＋（ｋ＋１）

＝１・ｋ＋２・（ｋ−１）＋・・・＋（ｋ−１）・２＋ｋ・１＋（ｋ＋１）（ｋ＋２）/２

　よって、ｎ＝ｋ＋１のとき成り立つ。

　以上から、すべての自然数ｎについて、

　１・ｎ＋２・（ｎ−１）＋・・・＋（ｎ−１）・２＋ｎ・１＝（１・２＋２・３＋・・・＋ｎ・（ｎ＋１））/２

が成り立つ。