全ての自然数は、高々４個の平方数の和で表される。
つまり、任意の自然数ｎに対して、 ｎ＝x12＋x22+x32+x42 を満たす
整数(x1、x2、x3、x4)の組が存在する。
では、次の３つの自然数を作ってください。(ただし、０＜x1＜x2＜x3＜x4）
ｎ1=1234567890
ｎ2=9876543210
ｎ3=11111111111
らすかるさんからのコメントです。（令和元年８月１３日付け）
（計算以外は）手作業で．．．。
√1234567890=35136.4… なので、 1234567890-35136^2=29394
√29394=171.4… なので、29394-171^2=153 → 153は4k+3型素数の奇数乗を含まない
√153=12.3… なので、153-12^2=9=3^2 (たまたま全て一発で成功)
よって、 1234567890=3^2+12^2+171^2+35136^2
√9876543210=99380.7… なので、9876543210-99380^2=158810
√158810=398.5… なので、158810-398^2=406
→ 406は4k+3型素数7の1乗を含むので不適
そこで、 158810-397^2=1201 → 1201は4k+1型素数
√1201=34.6… なので、1201-34^2=45 → 失敗 、1201-33^2=112 → 失敗 、・・・
1201-25^2=576=24^2
よって、9876543210=24^2+25^2+397^2+99380^2
√11111111111=105409.2… なので、11111111111-105409^2=53830
√53830=232.0… なので、53830-232^2=6 → 6は4k+3型素数3の1乗を含むので不適
53830-231^2=469 → 469は4k+3型素数7の1乗を含むので不適
53830-230^2=930 → 930は4k+3型素数3の1乗を含むので不適
53830-229^2=1389 → 1389は4k+3型素数3の1乗を含むので不適
53830-228^2=1846 → 1846は4k+3型素数71の1乗を含むので不適
53830-227^2=2301 → 2301は4k+3型素数3の1乗を含むので不適
53830-226^2=2754 → 2754は4k+3型素数の奇数乗を含まない
√2754=52.4… → 2754は4k+2型なので奇数のみ調べる
2754-51^2=153 → 失敗 、2754-49^2=353 → 失敗 、2754-47^2=545 → 失敗
2754-45^2=729=27^2
よって、11111111111=27^2+45^2+226^2+105409^2
＃以前作った、4k+1型素数を平方数の和に分解するプログラムを使うと、最初の二つはい
ずれも4k+2型なので、4k+1型素数二つの和にすることで、
1234567890=1234567801+89
1234567801=25685^2+23976^2 、89=8^2+5^2
よって、 1234567890=5^2+8^2+23976^2+25685^2
9876543210=9876543109+101
9876543109=83022^2+54625^2 、101=10^2+1^2
よって、 9876543210=1^2+10^2+54625^2+83022^2
最後の一つは4k+3型なので、最初に最大平方数105409^2を引いて、残った53830を4k+1
型素数+平方数に分けて、
53830=53101+27^2 、53101=226^2+45^2
よって、 11111111111=27^2+45^2+226^2+105409^2
（これは前回の結果とたまたま同じです）
