(a-b)*(b-c)*(c-a)*(a+2b+2c)*(b+2c+2a)*(c+2a+2b)
は、５の倍数であることを証明してください。
各整数を５で割った余りで場合分けすれば終わる話ではありますが、もっと綺麗な証明は
できるでしょうか？
らすかるさんからのコメントです。（令和元年８月３日付け）
「nが5の倍数でないとき、n^4≡1 (mod 5) であることから、
mかnが5の倍数のとき、mn≡0(mod 5)
そうでないとき、m^4-n^4≡0 (mod 5)
なので、mn(m^4-n^4) は必ず5の倍数」
を使って、a-b=s、b-c=t とおいて、b、cを消すと、
(a-b)(b-c)(c-a)(a+2b+2c)(b+2c+2a)(c+2a+2b)
=st(-s-t)(5a-4s-2t)(5a-3s-2t)(5a-3s-t)
≡st(-s-t)(s-2t)(2s-2t)(2s-t) (mod 5)
=st(-s-t)(2s-2t)(2s^2-5st+2t^2) (s-2tと2s-tを掛けた)
≡st(-s-t)(2s-2t)(2s^2+2t^2) (mod 5)
=-4st(s^4-t^4)
≡0 (mod 5)
# 与式を直接展開しても（手計算には向きませんが）
(与式)=10(a^4(c^2-b^2)+b^4(a^2-c^2)+c^4(b^2-a^2))+5abc(a^2(c-b)+b^2(a-c)+c^2(b-a))
+4(ab(b^4-a^4)+bc(c^4-b^4)+ca(a^4-c^4))
≡0(mod 5)
のように示せます。
DD++さんからのコメントです。（令和元年８月３日付け）
ありがとうございます。やっぱり対称性はある程度崩すしかないんですかね。
1文字の次数が高い式に対して、「n個の連続する整数の積はn!の倍数」みたいに、対称性
の高い式で、「こういう形はこの倍数」みたいなものがないかと作った式だったのですが、未
来はあまり明るくなさそうでしょうか。
