える。そんな爽やかな経験を是非若いうちに十分しておきたいものだ。
問題タイプ別に分けたいくつかの問題を通して、比の計算の妙を味わっていただければと
思う。
（比の和が一定）
問題１ ＡとＢの持っているお金の比は、６：１でしたが、ＡがＢに２００円あげたところ、持っ
ているお金の比は、４：３になりました。最初に２人が持っていた金額はいくらですか。
（解） 最初 Ａ：Ｂ＝６：１ Ａ→Ｂの後、 Ａ：Ｂ＝４：３ と考えると、比の和
は一定なので、比の値の変化量２（＝６−４＝３−１）が２００円に相当する。
よって、比１当たり１００円なので、Ａは６００円、Ｂは１００円持っていたことになる。 （終）
（追記） 令和２年３月１７日付け
２０２０年度の洛星中学前期入試で、（比の和が一定）の問題が出題された。
問題１’ 兄と弟の所持金の比は１３：１１でしたが、兄が弟に８６７円渡すと、所持金の比は
３：１３になりました。初めの兄の所持金はいくらでしょうか？
（解） １３：１１＝２６：２２ 兄が弟に８６７円渡した結果、 ３：１３＝９：３９
比の和が一定なので、 ２６−９＝１７ が８６７円に相当する。
すなわち、比１あたり ５１円 なので、初めの兄の所持金は、
５１×２６＝１３２６（円） （終）
（比の差が一定）
問題２ ＡとＢの持っているお金の比は、４：３でしたが、お年玉で２００円ずつもらったので、
比が５：４になりました。最初に２人が持っていた金額はいくらですか。
（解） 最初 Ａ：Ｂ＝４：３ Ａ＋２００、Ｂ＋２００の後、 Ａ：Ｂ＝５：４ と考えると、比の差
は一定なので、比の値の変化量１（＝５−４＝４−３）が２００円に相当する。
よって、Ａは８００円、Ｂは６００円持っていたことになる。 （終）
問題３ 飴の入った箱Ａ、Ｂがあり、両方に２０個加えたら、個数の比が３：１となり、続けて
さらに４０個加えたら個数の比が７：４となった。初めの個数は何個ずつだったか？
（解） 箱Ａ、Ｂに入っている個数の差は一定で、両方に２０個加えたら、Ａ：Ｂ＝３：１＝９：３
さらに４０個加えたら、Ａ：Ｂ＝７：４＝14：８
比５（＝１４−９＝８−３）当たり４０なので、比１当たり８
よって、２０個加えたとき、 Ａは７２個、Ｂは２４個なので、最初に入っていたのは、
Ａは５２個、Ｂは４個 （終）
問題４ 男：女＝５：３ のとき、男女とも１０人入ると、男：女＝１０：７ となった。
現在の男女数は？
（解） 差が一定なので、 男：女＝５：３＝１５：９ 男＋１０、女＋１０ の後、
男：女＝１０：７＝２０：１４
比５（＝２０−１５＝１４−９）当たり１０なので、比１当たり５
現在の男＝１００、女＝７０ なので、社員数は、１７０人 （終）
問題５ Ａの水槽に２００リットル、Ｂの水槽に１００リットルの水が入っている。両方の水槽
から同じ量の水を汲み出す。Ａの残り：Ｂの残り＝３：１のとき、Ｂには何リットル残っ
ているか？
（解） Ａの水槽とＢの水槽の差は、１００リットルで、これは変わらない。
比２（＝３−１）当たり、１００リットルなので、比１当たり５０リットル。
よって、Ｂの水槽には、５０リットル残っている。 （終）
（一方が固定）
問題６ ＡとＢの持っているお金の比は、４：１でしたが、Ｂが３００円もらったので、比が５：２
になりました。最初に２人が持っていた金額はいくらですか。
（解） 最初 Ａ：Ｂ＝４：１＝２０：５ Ｂ＋３００の後、 Ａ：Ｂ＝５：２＝２０：８ と考えると、
比の値の変化量３（＝８−５）が３００円に相当する。
よって、比１当たり１００円なので、Ａは２０００円、Ｂは５００円持っていたことになる。 （終）
（和が一定）
問題７ A、B、Cの３人の所持金の比は、５：４：１でしたが、AがCに３００円あげたので、そ
の比は、７：８：５になりました。最初に、Ａ、Ｂ、Ｃはいくら持っていましたか。
（解） Ａ：Ｂ：Ｃ＝５：４：１＝１０：８：２ Ａ→Ｃの後、 Ａ：Ｂ：Ｃ＝７：８：５ と考えると、比の値
の変化量３（＝１０−７＝５−２）が３００円に相当する。
よって、比１当たり１００円なので、Ａは１０００円、Ｂは８００円、Ｃは２００円持っていたこ
とになる。 （終）
（片方が増で残りが減であるとき）
問題８ ＡとＢの持っているお金の比は、３：１でしたが、Ａが５０００円使い、Ｂが２５００円他
よりもらったので、比が１：２になりました。最初に２人が持っていた金額はいくらです
か。
（解） 最初 Ａ：Ｂ＝３：１＝６：２ Ａ−５０００、Ｂ＋２５００の後、 Ａ：Ｂ＝１：２ と考えると、
比の値の変化量５（＝６−１）が５０００×２＋２５００＝１２５００円に相当する。
よって、比１当たり２５００円なので、Ａは７５００円、Ｂは２５００円持っていたことになる。
（終）
（別解） 最初にＡ、Ｂの持っているお金を、それぞれ３Ｎ、Ｎとすると、題意より、
３Ｎ−５０００ ： Ｎ＋２５００＝１：２ より、Ｎ＝２５００
よって、 Ａは７５００円、Ｂは２５００円持っていたことになる。 （終）
（両者がともに増または減のとき）
問題９ ＡとＢの持っているお金の比は、５：４でしたが、Ａが６００円、Ｂが５００円使ったの
で、残りの比が４：３になりました。最初に２人が持っていた金額はいくらですか。
（解） 最初 Ａ：Ｂ＝５：４＝１５：１２ Ａ−６００、Ｂ−５００の後、 Ａ：Ｂ＝４：３＝１６：１２
と考えると、比の値の変化量１（＝１６−１５）が５００×４−６００×３＝２００円に相当する。
よって、Ａは１０００円、Ｂは８００円持っていたことになる。 （終）
（別解） 最初にＡ、Ｂの持っているお金を、それぞれ５Ｎ、４Ｎとすると、題意より、
５Ｎ−６００ ： ４Ｎ−５００＝４：３ より、Ｎ＝２００
よって、 Ａは１０００円、Ｂは８００円持っていたことになる。 （終）
（コメント） 問題８、９はちょっと自信がなかったので、方程式を立てて計算してみました。
方程式を立てた方が明解かな？
問題８、９について、らすかるさんから別解をいただきました。（令和元年８月１９日付け）
（問題８の別解）
Bの所持金と貰った金額を2倍すると、
所持金比3：2→AがBに5000円あげる→所持金比1：4
となり、問題１と同じ方法で、
比２（＝３−１＝４ｰ２）当たり５０００円なので、比１当たり２５００円となり、
A=7500円、B=5000円となる。
よって、答えは、Aが7500円、Bが5000÷2=2500円 （終）
（問題９の別解）
Aの所持金と使った金額を5倍、Bの所持金と使った金額を6倍すると、
所持金比25：24→両者3000円使う→所持金比10：9
となり、問題４と同じ方法で、
比１５（＝２５−１０）当たり、３０００円なので、比１当たり２００円
よって、A=5000円、B=4800円となるので、答えは、
Aが5000÷5=1000円、Bが4800÷6=800円 （終）
（コメント） なるほど！何倍かして金額を揃えるという手法もあるのですね。らすかるさんに
感謝いたします。
問題１０ 今、Ａ、Ｂ２人の前にはお金が山のように積んである。１回目は２人は同じ金額を
取る。２回目は残りのお金をＡ：Ｂ＝３：１になるように取ったところ、２人の金額は、
Ａ：Ｂ＝４：３になった。Ａが１回目に取った金額と２回目に取った金額の比はどうな
るか？
（解） Ａが１回目、２回目に取った金額をそれぞれ Ｎ、３ｎ とおくと、Ａ＝Ｎ＋３ｎ 、Ｂ＝Ｎ＋ｎ
このとき、Ａ−Ｂ＝２ｎ が比１当たりとなる。すなわち、
Ａ＝Ｎ＋３ｎ＝８ｎ 、Ｂ＝Ｎ＋ｎ＝６ｎ より、 Ｎ＝５ｎ
よって、Ａが１回目に取った金額と２回目に取った金額の比は、５ｎ：３ｎ＝５：３ となる。
（終）
問題１０は分配算の問題であるが、（比の差が一定）の問題２と同様に解きうる。
（問題１０の別解） 最初 Ａ：Ｂ＝３：１ Ａ＋Ｎ、Ｂ＋Ｎの後、 Ａ：Ｂ＝４：３＝８：６ と考え
ると、比の差は一定なので、比の値の変化量５（＝８−３＝６−１）がＮ円に相当する。
このとき、比１当たりＮ/５ となるので、 Ｎ → ３Ｎ/５ より、
Ａが１回目に取った金額と２回目に取った金額の比は、 ５：３ となる。 （終）
次は、年齢算の問題であるが、（比の差が一定）の問題２と同様に解きうる。
問題１１ 現在、父親は３８歳、子供は５歳である。何年後に、父親の年齢が子供の年齢
の４倍になるか？
（解） 父親の年齢と子供の年齢の差は３３歳で、これは何年経っても変わらない。
比３（＝４−１）当たり３３歳なので、比１当たり１１歳。よって、父親の年齢が４４歳のとき、
子供の年齢は１１歳となり、題意を満たす。
よって、６年後に父親の年齢が子供の年齢の４倍になる。 （終）
（別解） 線分図を用いると解法も明解になるだろう。
（終）問題１１の類題です。
問題１２ Ａ、Ｂの年齢の比は４：１、１４年後には５：３となる。現在のＡ、Ｂの年齢を求めよ。
（解） ２人の年齢の差は何年経っても変わらない。
Ａ：Ｂ＝４：１＝８：２ １４年後に Ａ：Ｂ＝５：３＝１５：９
比７（＝１５−８＝９−２）当たり１４ なので、比１当たり２
よって、Ａの年齢が１６歳、Ｂの年齢は４歳となる （終）
倍数算を線分図で解くためには、初めと後で変わらないものを見つける
問題１３ Ａ：Ｂ＝２：３ Ａに＋１０、Ｂから−３０ の結果、Ａ：Ｂ＝５：６ となった。
初めの量を求めよ。
（解）
