従って、 1^(p-1)+2^(p-1)+3^(p-1)+･･･+(p-1)^(p-1)+1=(p-1)+1=p≡0 (mod ｐ)
そこで逆に、 1^(n-1)+2^(n-1)+3^(n-1)+･･･+(n-1)^(n-1)+1≡0 (mod ｎ)
を満たす合成数ｎはあるか？
DD++さんからのコメントです。（令和元年７月３０日付け）
ｐが素数なら、どんな自然数ａでもフェルマーの小定理から、 a^(p-1)≡1 (mod ｐ)
は、ダウト（疑わしい）です。a=p なら、a^(p-1)≡0 (mod p) です。
フェルマーの小定理は、p-1乗で書く方は任意の自然数について成り立つわけではありま
せん。合成数の場合を考えるときにここを勘違いしたままだと、痛い目にあいますね。
DD++さんからのコメントです。（令和元年７月３１日付け）
そこで逆に、 1^(n-1)+2^(n-1)+3^(n-1)+･･･+(n-1)^(n-1)+1≡0 (mod ｎ)
を満たす合成数ｎはあるか？
ｐをｎの素因数の1つとして、n=m*p とすると、mod p で
1^(n-1)+2^(n-1)+3^(n-1)+･･･+(n-1)^(n-1)+1
≡ {1^(n-1)+2^(n-1)+3^(n-1)+･･･+(p-1)^(n-1)}*m+1
≡ (p-1)*m+1 （n-1がp-1の倍数のとき）、1（それ以外）
≡ 1-m （n-1がp-1の倍数のとき）、1（それ以外）
したがって、 1^(n-1)+2^(n-1)+3^(n-1)+･･･+(n-1)^(n-1)+1≡0 (mod p)
となる必要十分条件は、n-1がp-1の倍数 かつ m-1がpの倍数であること、
すなわち、n-p が p^2*(p-1) の倍数であることです。
したがって、nがp^2を約数に持つ場合は絶対に条件を満たさず、nは異なる素因数の積で
ある必要があります。
また、ｎが合成数の場合は、最大素因数の3乗程度の数を約数に持つことから、少なくとも
4つの素因数の積である必要があります。
さらに、p^2*(p-1) は偶数であることから、n-p はどの素因数についても偶数でなければな
らず、唯一の偶素数である２はｎの素因数ではありえません。
……と、ここまで考えたところで既に解が存在するなら、少なくとも 3*5*7*11以上になること
がわかっていて、手計算のチャレンジャーは撃沈です。
