いま、次のルールで、数を消していく。
（１） まず、２から消し始める。次に、一つおきに、数を消していく。
（２） 端についたら、今度は折り返して、逆向きに残っている数に対して、（１）と同様のこと
を繰り返す。
すなわち、残っている端の数の左隣の数から消し始め、次に、一つおきに、数を消し
ていく。
（３） 端についたら折り返して、以下、同様に、操作を繰り返す。
最後に残った数字が３１のとき、ｎはいくらか。
例 ｎ＝50 のとき、
1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12、13、14、15、16、17、18、19、20、21、22、23、24、25、
26、27、28、29、30、31、32、33、34、35、36、37、38、39、40、41、42、43、44、45、46、47、
48、49、50
↓
1、3、5、7、9、11、13、15、17、19、21、23、25、27、29、31、33、35、37、39、41、43、45、47、49
↓
1、5、9、13、17、21、25、29、33、37、41、45、49
↓
1、9、17、25、33、41、49
↓
1、17、33、49
↓
1、33
↓
33 この場合、最後に残った数字は、「３３」
らすかるさんからのコメントです。（令和元年６月２８日付け）
何か勘違いしているのかも知れませんが、３１が最後に残ることはないように思います。
勘違いや間違いがあれば御指摘下さい。
n=4kのとき、最初に、2,4,6,…,4kが消える。
残っているのが、1,3,5,…,4k-1なので、次は、4k-3,4k-7,4k-11,…,1が消える。
残っているのが、3,7,11,…,4k-1なので、7,15,23,31,…が消えて、31が残らない。
n=4k-1のとき、最初に消えるのが、2,4,6,…,4k-2で、次からは、n=4kのときと同じ。
n=4k+2のとき、最初に、2,4,6,…,4k+2が消える。
残っているのが、1,3,5,…,4k+1なので、次は、4k-1,4k-5,4k-9,…,3が消える。
この中に31が含まれているので、31は残らない。
n=4k+1のとき、最初に消えるのが、2,4,6,…,4kで、次からは、n=4k+2のときと同じ。
従って、31が最後に残ることはない。
DD++さんからのコメントです。（令和元年６月２８日付け）
「31」が最後に残ることはありませんし、これを最後に残る可能性がちゃんとある数に変え
れば対応するnの値は無限に存在してしまいますね。
よおすけさんからのコメントです。（令和元年６月２８日付け）
らすかるさんとDD++さんのご指摘のように「31」を残すことはできません。ですので、満た
す自然数nは存在しない、で正解です。
DD++さんからのコメントです。（令和元年６月２８日付け）
ということで、勝手に改題。
上記の操作で最後に残る可能性がある6桁の自然数は何個あるか。
なお、2^20=1048576である。
ＧＡＩさんからのコメントです。（令和元年６月２８日付け）
768個？（数えた。）
DD++さんからのコメントです。（令和元年６月２８日付け）
正解です。6桁程度ならコンピュータ使えばすぐでしたかねと思いましたが、残る数が6桁だ
としてもｎが6桁だとは言っていないので、「コンピュータで全部洗い出して数える」ことはでき
ないですね。どうやって数えたんだろう？
ＧＡＩさんからのコメントです。（令和元年６月２９日付け）
２進法にし、これを４進法で読み替えた数を２倍にし１を加えた数が６桁になるものをカウ
ントしました。
(255)->[1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1]
->1*4^7+1*4^6+1*4^5+1*4^4+1*4^3+1*4^2+1*4+1=21845->2*21845+1=43691 (5桁）
(256)->[1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0]->1*4^8=65536->2*65536+1=131073 (6桁）
････････････
(1023)->[1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1]
->1*4^9+1*4^8+1*4^7+1*4^6+1*4^5+1*4^4+1*4^3+1*4^2+1*4+1=349524
->2*349524+1=699051 (6桁）
(1024)->[1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0]->1*4^10=1048576->2*1048576+1=2097153 (7桁)
これより、 1023-256+1=768(個）
DD++さんからのコメントです。（令和元年６月２９日付け）
なるほど、そこまでは考えてからだったのですね。そこまでわかっているなら、先頭2桁が両
方0だと6桁に届かずどちらか片方でも1なら6桁になることを考えれば、2^10-2^8=768 でおし
まいです。
ＧＡＩさんからのコメントです。（令和元年７月１日付け）
冒頭の篩のルールを、「3から消し始め、二つおきに、数を消していく」へ変更した時の最後
に残る数を調べていたら、勿論、３の倍数である数は残りませんが、それ以外の
13,26,28,29,40,47,53,58,59,61,62,64,65,67,88,89,94,･･･（一応100までの調査）
がどうしても残せません。（nの値をもっと大きくとると出来るのかな？）
もしこの数が残せるnが見つかりましたら教えて下さい。
らすかるさんからのコメントです。（令和元年７月１日付け）
100までで残らない数は、
5,10,11,13,19,20,22,23,25,26,28,32,40,41,43,44,46,47,49,50,52,53,55,56,58,59,61,62,67,71,73,80,
86,88,89,91,92,94,95,97,98
となりましたが、何かルールが違うのでしょうか。
２つおきに消すということは、(n≧2として)残りが2個になったら終了で、その２個が「残っ
た」ということになるんですよね？もし「5が残ることがある」のでしたら、具体的にｎがいくつ
の時に、どのような消去順で消されて残るのかを教えて下さい。
（そうすれば、どこのルールが違うのかがわかると思いますので。）
DD++さんからのコメントです。（令和元年７月１日付け）
29って、普通に、ｎ=29で残りませんか？
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29
左から消す
1 2 4 5 7 8 10 11 13 14 16 17 19 20 22 23 25 26 28 29
右から消す
1 2 5 7 10 11 14 16 19 20 23 25 28 29
左から消す
1 2 7 10 14 16 20 23 28 29
右から消す
1 7 10 16 20 28 29
左から消す
1 7 16 20 29
右から消す
1 7 20 29
左から消す
1 7 29
右から消す
7 29
残り2個なのでこれ以上消えない
ＧＡＩさんからのコメントです。（令和元年７月２日付け）
２つおきに消すという表現なら、２つ残ってしまいますね。
ｎ=14 なら、 3,6,9,12,13,8,4,2,10,11,1,14,7,5 で、5が残ると考えていました。２個数え、その
次のカードを拾っていく、と言わないと、一つのものにならないですね。（→ 参考：「A088443」）
ｎ=29での消え方
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29
左から消す。
1 2 4 5 7 8 10 11 13 14 16 17 19 20 22 23 25 26 28 29
右に２つ残っているので28,29と２つカウントをとる。
右端まで来たので、向きを反転し28のカードを拾う。右から消す。以降23,19,14,10,5,1を拾う
ことになる。
今の状態： 2 4 7 8 11 13 16 17 20 22 25 26 29
今左端にいるから向きを反転し、左から消す。7,13,20,26を拾うことになる。
2 4 8 11 16 17 22 25 29
右に29が残っているので29,(向きを変えて),25のカード２つをカウントする。右から消す
22,11,2を拾う。
4 8 16 17 25 29
左から消す。以降、16,29,8,25,17,29と拾うことになり、最後に、4が残る。
DD++さんからのコメントです。（令和元年７月２日付け）
えーと、つまり、消し方を3番目から3個ごとに変更するだけじゃなくて、(2)での数え方のル
ールも根底から別のものに変えてしまおうという話なんですかね？
らすかるさんからのコメントです。（令和元年７月２日付け）
私も最初はそのように思ったのですが、この新ルールに見えたものの「3」を「2」に変えると、
結果的に元のルールと同じになりますので、「根底から変えて」いるわけではなく、元のルール
の解釈の違いと考えることもできます。
元のルール
（２） 端についたら、今度は折り返して、逆向きに残っている数に対して、（１）と同様のこと
を繰り返す。
これだけ読むと曖昧ですが、もしこの文だけで解釈するとしたら、GAIさんの(新)ルールの
ような解釈になる可能性は大いにあると思います。
すなわち、残っている端の数の左隣の数から消し始め、
この部分は「すなわち」なので、少し具体的に説明しているとも考えられ、
すなわち、（n=2の場合は結果的に）残っている端の数の左隣の数から消し始め
となったと解釈することもできます（多少忖度しています）。
# もっとも、最初は私も「ルールが違う！」と思ってしまったので、大きな声では言えませんが。
そして、このルールならば、残せないものはGAIさんが書かれたものとほぼ同じですが、
２つだけ違いがあります。
・47はn=1303のときに残ります。
・80が残ることはなさそうなのですが、ｎがいくつの時に残るのですか？
それから、「残せない数」の法則はわからないのですが、個別には残せないことの証明は
できると思います。
例えば、13は、1〜13を考えたときに
・最初3,6,9,12が消えて、残りが1,2,4,5,7,8,10,11,13になります。
・折り返してきたとき、13か11か10のいずれかが消えます。
11が消えたとき、11の続きが7,2,折り返して5,13と消えます。
10が消えたとき、10の続きが5,1,折り返して7,13と消えます。
従って、13が残ることはありません。
100以下の数で最後に出てくるのが、n=1303のときの47であり、それ以降n=1000000まで
調べても新しい数が出てきませんので、おそらく、
13,26,28,29,40,53,58,59,61,62,64,65,67,80,88,89,94
は、すべて残せず、個別証明はできるものと思います。
ＧＡＩさんからのコメントです。（令和元年７月２日付け）
・47はn=1303のときに残ります。
残ります。見落としていました。
・80が残ることはなさそうなのですが、ｎがいくつの時に残るのですか？
80も入れないといけなかったのが落としていました。
それ以降n=1000000まで調べても新しい数が出てきませんので、おそらく、
13,26,28,29,40,53,58,59,61,62,64,65,67,80,88,89,94
は、すべて残せず、個別証明はできるものと思います。
自分はせいぜいn=100000程度で眺めていたので不安でした。前の一つ飛ばしのルールで
は最後はかなり規則的であったのに対し、二つ飛ばしでは、かなり数字のばらつきが起こる
のが面白かったです。
この最後において拾えない上記の数を式で表せぬものかともがきましたが、跳ね返されて
しまいました。
DD++さんからのコメントです。（令和元年７月２日付け）
おそらく、 13,26,28,29,40,53,58,59,61,62,64,65,67,80,88,89,94 は、すべて残せず、
もしかして、三進数で3桁以上のゾロ目になるもの（13,26,40,80,……）ってこの先も全滅で
すか？
改めて見てみると、途中で絶対に消えてしまう数は以下のように分類できるように見えます。
その数を三進数で表した時の性質で分類すると
下1桁が0 ： 3,6,9,12,15,……
下3桁が111 ： 13,40,67,94,……
下3桁が222 ： 26,53,80,……
残り ： 28,29,58,59,61,62,64,65,88,89,……
となっているように見えます。残った部分は他の項目に該当するものと合わせると、
26≦x≦30 （三進数で書けば 222≦x≦1010）
57≦x≦67 （三進数で書けば 2010≦x≦2111）
87≦x≦90 （三進数で書けば 10020≦x≦10100）
と特定の範囲に集中的に存在しています。次に出てくるのは 117≦x≦120 くらいかな？
らすかるさんからのコメントです。（令和元年７月２日付け）
(3^3-1)/2、3^3-1、(3^4-1)/2、3^4-1、(3^5-1)/2、3^5-1、…、(3^12-1)/2、3^12-1
まで調べて全滅でした。
次に出てくるのは 117≦x≦120 くらいかな？
1000までに広げて、下3桁が111、222、残りに(プログラムで自動的に)分類してみると、
下3桁が111 ： 13,40,67,94,121,148,…(この間27n+13はすべて)…,985
下3桁が222 ： 26,53,80,107,134,161,…(この間27n+26はすべて)…,998
残り ： 28,29,58,59,61,62,64,65,88,89,118,119,128,130,131,133,136,137,139,140,142,
143,145,146,149,151,179,181,196,197,199,200,209,211,239,241,263,265,266,268,271,
272,287,289,290,292,293,295,298,299,301,302,304,305,307,308,311,313,314,316,317,
319,320,322,325,326,328,329,331,332,334,335,338,340,361,362,392,394,401,403,406,
407,422,424,439,440,442,443,446,448,449,451,452,454,469,470,473,475,482,484,514,
515,536,538,541,542,544,545,574,575,590,592,595,596,598,599,601,602,604,605,608,
610,611,613,635,637,644,646,649,650,652,653,655,656,658,659,662,664,665,667,668,
670,671,673,676,677,679,680,682,683,685,686,689,691,692,694,695,697,698,700,703,
704,706,707,709,710,712,713,716,718,719,721,722,724,725,727,730,731,733,734,736,
737,739,740,743,745,746,748,749,751,752,754,757,758,760,761,763,764,787,788,811,
812,814,815,817,818,847,848,878,880,881,883,884,886,901,902,905,907,908,910,911,
913,914,916,938,940,949,950,952,953,968,970,986,988,989,991,992,994,995,997,1000
のようになっていました。
117と120は3の倍数で121が下3桁111なので、「次に出てくるのは117≦x≦121」でした。
DD++さんからのコメントです。（令和元年７月３日付け）
連続的に該当しているところは、なんだかフラクタルっぽい感じに見えますね。263からや
644からの連続数がすごい。
連続出現数の規則性がわかれば手がかりになりそうですが、26のように意味のある連続
出現の隣に偶然来ちゃっただけみたいに見えるのもいて難しいですねえ。
らすかるさんからのコメントです。（令和元年７月３日付け）
上記で書いたn=13の例の一般化を考えて、半分解決しました。
n=13の例の一般化を考えると、n-[n/3]が9の倍数のとき、順方向1回目でnまでに9の倍数
個残りますので、これを左から順にa[1],a[2],a[3],…,a[9m]=nとすると、逆方向1回目では、
(a)a[9m],a[9m-3],a[9m-6],…,a[6],a[3]
(b)a[9m-1],a[9m-4],a[9m-7],…,a[5],a[2]
(c)a[9m-2],a[9m-5],a[9m-8],…,a[4],a[1]
のどれかが消えます。
(a)ならば、a[9m]=nが消えて終わりです。
(b)のとき、a[5],a[2]の後、順方向2回目でa[4],a[9],a[13],a[18],…,a[9m]が消えますので、
a[9m]=nが消えます。
(c)のとき、a[4],a[1]の後、順方向2回目でa[5],a[9],a[14],a[18],…,a[9m]が消えますので、
a[9m]=nが消えます。
従って、n-[n/3]が9の倍数ならば、nは必ず消えます。
※三進法の3桁以上のゾロ目はこれに含まれています。
28は、n-[n/3]が9の倍数ではないのに必ず消えますが、これは、逆方向1回目でnが消え
るか、もしくは、逆方向1回目で消えない場合は、順方向2回目でnまでの個数k個が
「k-[k/3]が9の倍数」を満たす数になっているためです。
こうなる二つのパターンを一般的に言うと、n-[n/3]=3m（mは3で割り切れない）のとき、
逆方向1回目で3m個のうちm個消えて2m個となりますので、2m-[2m/3]が9の倍数になって
いれば消えます。
n-[n/3]=3m+1のとき、逆方向1回目で3m+1番目=nが消えれば終わり、3m+1番目が消えな
ければm個消えますので、残りは2m+1個、従って、(2m+1)-[(2m+1)/3]が9の倍数になってい
れば消えます。
この規則は再帰的に適用できますので、まとめると、以下のようになります。
条件2（条件1はn=3mのつもり）
(a) n-[n/3]=9mのときは上の論理により消えます。
(b) n-[n/3]=3m（mは3で割り切れない）のときは、2mを新たにnとおいて条件2が成り立てば
消えます。
(c) n-[n/3]=3m+1のときは、2m+1を新たにnとおいて条件2が成り立てば消えます。
(d) n-[n/3]=3m+2のときは消えるかどうかわかりません。
1000までで必ず消える数がこの条件に当てはまっているかどうかを個別に判断して分類す
ると、条件2にあてはまるもの
13,26,28,40,53,58,59,62,67,80,89,94,107,118,121,130,131,134,139,140,148,149,161,175,179,181,
188,199,202,211,215,229,239,242,256,265,269,271,283,292,293,296,301,302,310,311,314,316,
323,332,334,337,350,361,364,377,391,392,401,404,406,418,422,424,431,445,446,454,458,472,
473,482,485,499,512,514,526,536,539,544,545,553,566,575,580,593,595,604,607,608,620,634,
635,647,656,658,661,665,667,674,676,679,680,688,697,698,701,706,707,710,715,725,728,742,
746,748,751,755,757,769,782,787,788,796,809,811,818,823,836,847,850,863,877,878,881,883,
890,901,904,908,910,913,917,931,940,944,949,950,953,958,968,971,985,998,1000
条件1,2にあてはまらないもの
29,61,64,65,88,119,128,133,136,137,142,143,145,146,151,196,197,200,209,241,263,266,268,272,
287,289,290,295,298,299,304,305,307,308,313,317,319,320,322,325,326,328,329,331,335,338,
340,362,394,403,407,439,440,442,443,448,449,451,452,469,470,475,484,515,538,541,542,574,
590,592,596,598,599,601,602,605,610,611,613,637,644,646,649,650,652,653,655,659,662,664,
668,670,671,673,677,682,683,685,686,689,691,692,694,695,700,703,704,709,712,713,716,718,
719,721,722,724,727,730,731,733,734,736,737,739,740,743,745,749,752,754,758,760,761,763,
764,812,814,815,817,848,880,884,886,902,905,907,911,914,916,938,952,970,986,988,989,991,
992,994,995,997
のようになりました。後者もそれぞれ条件を考えていけば解決するかも知れませんが、同様
に考えるとかなり場合分けが多くなりそうです。
# 冒頭に「半分解決」と書いたのは、1000までで見た感じ半分ぐらい条件2にあてはまってい
たからですが、数字を良く見ると条件不明の後者の方がやや値が大きく、もっと先までや
ると条件不明の方がどんどん多くなるような気もします。よって、「一部解決」ぐらいかも知
れません。
ＧＡＩさんからのコメントです。（令和元年７月４日付け）
この分類漏れしたものを３進法で表し、その奇数冪の部分（3,3^3,3^5,3^7,･･･)の係数を
すべて0に置き換えてグループ分けしてその代表値で分類してみた。
n=143->3進法では12022->奇数項の係数を0へ->10002=1*3^4+2=83
これだと、 n=602->211022->010002->83 となり、143も602も同じ代表値83のグループ
に入る。
上記をグループ代表値で分類させてみたのが下表。
n 代表値：n 代表値：n 代表値：n 代表値
28 1 ： 118 91 ： 179 173 ： 748 748
58 1 ： 145 91 ： 200 173 ： 751 748
61 1 ： 151 91 ： 422 173 ： 754 748
271 1 ： 334 91 ： 443 173 ： 991 748
298 1 ： 340 91 ： 446 173 ： 994 748
301 1 ： 361 91 ： 449 173 ： 997 748
304 1 ： 394 91 ： 470 173 ： 749 749
514 1 ： 604 91 ： 473 173 ： 752 749
541 1 ： 610 91 ： 659 173 ： 992 749
544 1 ： 637 91 ： 662 173 ： 995 749
29 2 ： 119 92 ： 665 173 ： 811 811
59 2 ： 146 92 ： 686 173 ： 814 811
62 2 ： 149 92 ： 689 173 ： 817 811
272 2 ： 335 92 ： 692 173 ： 812 812
299 2 ： 338 92 ： 713 173 ： 815 812
302 2 ： 362 92 ： 716 173 ： 818 812
305 2 ： 392 92 ： 719 173 ： 847 820
515 2 ： 605 92 ： 181 181 ： 880 820
542 2 ： 608 92 ： 211 181 ： 848 821
545 2 ： 611 92 ： 241 181 ： 878 821
64 10 ： 635 92 ： 424 181 ： 881 821
307 10 ： 130 100 ： 451 181 ： 883 829
313 10 ： 133 100 ： 454 181 ： 886 829
65 11 ： 403 100 ： 484 181 ： 884 830
287 11 ： 592 100 ： 667 181 ： 949 892
308 11 ： 613 100 ： 670 181 ： 952 892
311 11 ： 646 100 ： 673 181 ： 950 893
314 11 ： 128 101 ： 694 181 ： 953 893
265 19 ： 131 101 ： 697 181 ： 901 901
268 19 ： 401 101 ： 700 181 ： 907 901
289 19 ： 590 101 ： 721 181 ： 902 902
292 19 ： 644 101 ： 724 181 ： 905 902
295 19 ： 196 163 ： 727 181 ： 908 902
316 19 ： 406 163 ： 209 182 ： 910 910
319 19 ： 439 163 ： 239 182 ： 913 910
322 19 ： 649 163 ： 452 182 ： 916 910
538 19 ： 652 163 ： 482 182 ： 940 910
263 20 ： 655 163 ： 668 182 ： 970 910
266 20 ： 676 163 ： 671 182 ： 911 911
290 20 ： 679 163 ： 695 182 ： 914 911
293 20 ： 682 163 ： 698 182 ： 938 911
317 20 ： 703 163 ： 722 182 ： 968 911
320 20 ： 706 163 ： 725 182
536 20 ： 709 163 ： 730 730
88 82 ： 197 164 ： 733 730
136 82 ： 407 164 ： 736 730
139 82 ： 440 164 ： 757 730
142 82 ： 650 164 ： 760 730
325 82 ： 653 164 ： 763 730
328 82 ： 656 164 ： 787 730
331 82 ： 677 164 ： 1000 730
574 82 ： 680 164 ： 731 731
595 82 ： 683 164 ： 734 731
598 82 ： 704 164 ： 737 731
601 82 ： 707 164 ： 758 731
89 83 ： 710 164 ： 761 731
137 83 ： 199 172 ： 764 731
140 83 ： 442 172 ： 788 731
143 83 ： 448 172 ： 739 739
326 83 ： 469 172 ： 745 739
329 83 ： 475 172 ： 988 739
332 83 ： 658 172 ： 740 740
575 83 ： 664 172 ： 743 740
596 83 ： 685 172 ： 746 740
599 83 ： 691 172 ： 986 740
602 83 ： 712 172 ： 989 740
: 718 172 ：
一見バラバラに見えていた数字も同じグループに結構集約されていくようです。
なお下２つが下３桁が111 と222の２グループをこの代表値で分類したものです。
13 10 @ 26 20 \
40 10 @ 53 20 \
67 10 @ 80 20 \
256 10 @ 269 20 \
283 10 @ 296 20 \
310 10 @ 323 20 \
499 10 @ 512 20 \
526 10 @ 539 20 \
553 10 @ 566 20 \
94 91 @ 107 101 \
121 91 @ 134 101 \
148 91 @ 161 101 \
391 91 @ 350 101 \
580 91 @ 377 101 \
607 91 @ 404 101 \
634 91 @ 593 101 \
175 172 @ 620 101 \
202 172 @ 647 101 \
229 172 @ 188 182 \
418 172 @ 215 182 \
445 172 @ 242 182 \
472 172 @ 431 182 \
661 172 @ 458 182 \
688 172 @ 485 182 \
715 172 @ 674 182 \
742 739 @ 701 182 \
769 739 @ 728 182 \
796 739 @ 755 749 \
1012 739 @ 782 749 \
823 820 @ 809 749 \
850 820 @ 998 749 \
877 820 @ 836 830 \
904 901 @ 863 830 \
931 901 @ 890 830 \
958 901 @ 917 911 \
944 911 \
971 911 \
DD++さんからのコメントです。（令和元年７月４日付け）
このリストにある数に限らずそれらの数に集約されていくんじゃないかと思いますが、いか
がでしょう。
ＧＡＩ さんからのコメントです。（令和元年７月５日付け）
問題は同じグループの中で求める最後で決して拾われることのない数字がどの場所にい
るのかは各グループの中ではある程度パターンをもつのですが、そのパターンはグループ
毎に異なり、将来の予測がまだ今のところ付けられません。
下がグループ毎の存在できる位置のパターンです。
@:下3桁が111,￥:下3桁が222,*:その他のもの,|:区切り
1 1 | 2 2
4 1 | 5 2
7 1 | 8 2
28 1 * | 29 2 *
31 1 | 32 2
34 1 | 35 2
55 1 | 56 2
58 1 * | 59 2 *
61 1 * | 62 2 *
244 1 | 245 2
247 1 | 248 2
250 1 | 251 2
271 1 * | 272 2 *
274 1 | 275 2
277 1 | 278 2
298 1 * | 299 2 *
301 1 * | 302 2 *
304 1 * | 305 2 *
487 1 | 488 2
490 1 | 491 2
493 1 | 494 2
514 1 * | 515 2 *
517 1 | 518 2
520 1 | 521 2
541 1 * | 542 2 *
544 1 * | 545 2 *
547 1 | 548 2
|
|
|
10 10 | 11 11
13 10 @ | 14 11
16 10 | 17 11
37 10 | 38 11
40 10 @ | 41 11
43 10 | 44 11
64 10 * | 65 11 *
67 10 @ | 68 11
70 10 | 71 11
253 10 | 254 11
256 10 @ | 257 11
259 10 | 260 11
280 10 | 281 11
283 10 @ | 284 11
286 10 | 287 11 *
307 10 * | 308 11 *
310 10 @ | 311 11 *
313 10 * | 314 11 *
496 10 | 497 11
499 10 @ | 500 11
502 10 | 503 11
523 10 | 524 11
526 10 @ | 527 11
529 10 | 530 11
550 10 | 551 11
553 10 @ | 554 11
556 10 | 557 11
|
|
|
19 19 | 20 20
22 19 | 23 20
25 19 | 26 20 \
46 19 | 47 20
49 19 | 50 20
52 19 | 53 20 \
73 19 | 74 20
76 19 | 77 20
79 19 | 80 20 \
262 19 | 263 20 *
265 19 * | 266 20 *
268 19 * | 269 20 \
289 19 * | 290 20 *
292 19 * | 293 20 *
295 19 * | 296 20 \
316 19 * | 317 20 *
319 19 * | 320 20 *
322 19 * | 323 20 \
505 19 | 506 20
508 19 | 509 20
511 19 | 512 20 \
532 19 | 533 20
535 19 | 536 20 *
538 19 * | 539 20 \
559 19 | 560 20
562 19 | 563 20
565 19 | 566 20 \
|
|
|
82 82 | 83 83
85 82 | 86 83
88 82 * | 89 83 *
109 82 | 110 83
112 82 | 113 83
115 82 | 116 83
136 82 * | 137 83 *
139 82 * | 140 83 *
142 82 * | 143 83 *
325 82 * | 326 83 *
328 82 * | 329 83 *
331 82 * | 332 83 *
352 82 | 353 83
355 82 | 356 83
358 82 | 359 83
379 82 | 380 83
382 82 | 383 83
385 82 | 386 83
568 82 | 569 83
571 82 | 572 83
574 82 * | 575 83 *
595 82 * | 596 83 *
598 82 * | 599 83 *
601 82 * | 602 83 *
622 82 | 623 83
625 82 | 626 83
628 82 | 629 83
|
|
|
91 91 | 92 92
94 91 @ | 95 92
97 91 | 98 92
118 91 * | 119 92 *
121 91 @ | 122 92
124 91 | 125 92
145 91 * | 146 92 *
148 91 @ | 149 92 *
151 91 * | 152 92
334 91 * | 335 92 *
337 91 | 338 92 *
340 91 * | 341 92
361 91 * | 362 92 *
364 91 | 365 92
367 91 | 368 92
388 91 | 389 92
391 91 @ | 392 92 *
394 91 * | 395 92
577 91 | 578 92
580 91 @ | 581 92
583 91 | 584 92
604 91 * | 605 92 *
607 91 @ | 608 92 *
610 91 * | 611 92 *
631 91 | 632 92
634 91 @ | 635 92 *
637 91 * | 638 92
|
|
|
100 100 | 101 101
103 100 | 104 101
106 100 | 107 101 \
127 100 | 128 101 *
130 100 * | 131 101 *
133 100 * | 134 101 \
154 100 | 155 101
157 100 | 158 101
160 100 | 161 101 \
343 100 | 344 101
346 100 | 347 101
349 100 | 350 101 \
370 100 | 371 101
373 100 | 374 101
376 100 | 377 101 \
397 100 | 398 101
400 100 | 401 101 *
403 100 * | 404 101 \
586 100 | 587 101
589 100 | 590 101 *
592 100 * | 593 101 \
613 100 * | 614 101
616 100 | 617 101
619 100 | 620 101 \
640 100 | 641 101
643 100 | 644 101 *
646 100 * | 647 101 \
|
|
|
163 163 | 164 164
166 163 | 167 164
169 163 | 170 164
190 163 | 191 164
193 163 | 194 164
196 163 * | 197 164 *
217 163 | 218 164
220 163 | 221 164
223 163 | 224 164
406 163 * | 407 164 *
409 163 | 410 164
412 163 | 413 164
433 163 | 434 164
436 163 | 437 164
439 163 * | 440 164 *
460 163 | 461 164
463 163 | 464 164
466 163 | 467 164
649 163 * | 650 164 *
652 163 * | 653 164 *
655 163 * | 656 164 *
676 163 * | 677 164 *
679 163 * | 680 164 *
682 163 * | 683 164 *
703 163 * | 704 164 *
706 163 * | 707 164 *
709 163 * | 710 164 *
|
|
|
172 172 | 173 173
175 172 @ | 176 173
178 172 | 179 173 *
199 172 * | 200 173 *
202 172 @ | 203 173
205 172 | 206 173
226 172 | 227 173
229 172 @ | 230 173
232 172 | 233 173
415 172 | 416 173
418 172 @ | 419 173
421 172 | 422 173 *
442 172 * | 443 173 *
445 172 @ | 446 173 *
448 172 * | 449 173 *
469 172 * | 470 173 *
472 172 @ | 473 173 *
475 172 * | 476 173
658 172 * | 659 173 *
661 172 @ | 662 173 *
664 172 * | 665 173 *
685 172 * | 686 173 *
688 172 @ | 689 173 *
691 172 * | 692 173 *
712 172 * | 713 173 *
715 172 @ | 716 173 *
718 172 * | 719 173 *
