「８１」と言えば九九であるが、常々その特異性に注目していた。それは何かというと、十
の位と一の位を足して平方すると自分自身になるからだ。このような性質を持つ２桁の数は
他にない。

　４桁の整数で、そのような性質、すなわち、４桁の整数を前２つ、後２つに分けて、それらを
加えた数を平方して自分自身になる数はあるだろうか？

　４桁の整数 ａｂｃｄ の十進数表示は、　１０００ａ＋１００ｂ＋１０ｃ＋ｄ　と書ける。

　その前２つは、　ｘ＝１０ａ＋ｂ　で、後２つは、　ｙ＝１０ｃ＋ｄ　なので、問題の性質は、

　　　（ｘ＋ｙ）²＝１００ｘ＋ｙ

を満たす整数 ｘ、ｙ が存在するかということである。

　上式を変形して、　（ｘ＋ｙ）（ｘ＋ｙ−１）＝９９ｘ　より、（ｘ＋ｙ）（ｘ＋ｙ−１） は９９で割り切れ

る。ただし、　ｘ＋ｙ＜１００　である。

　ｘ＋ｙ、ｘ＋ｙ−１ は互いに素なので、可能性として次の場合が考えられる。

（１）　ｘ＋ｙ＝９９

（２）　ｘ＋ｙ が１１の倍数、ｘ＋ｙ−１ が９の倍数

　　これを満たすのは、ｘ＋ｙ＝５５

（３）　ｘ＋ｙ が９の倍数、ｘ＋ｙ−１ が１１の倍数

　　これを満たすのは、ｘ＋ｙ＝４５

　したがって、　１００ｘ＋ｙ＝９９²＝９８０１

　　１００ｘ＋ｙ＝５５²＝３０２５　　、　１００ｘ＋ｙ＝４５²＝２０２５

　よって、問題の性質を持つ４桁の整数は、　９８０１、３０２５、２０２５　の３個あることが分
かった。

　それでは、問題の性質を持つ６桁の整数は、あるのだろうか？あったとしたら何個あるの
だろうか？興味は尽きない。

（追伸）　オンライン整数列大辞典「A238237」で既に調べられていて、６桁の整数の場合は、

　　　　　４９４２０９　、　９９８００１

の２個しかないとのことである。

　実際に計算してみた。

　６桁の整数 ａｂｃｄef の十進数表示は、

　100000a+10000b+1000c+100d+10e+f＝1000(100a+10b+c)+100d+10e+f

　そこで、　ｘ＝100a+10b+c　、ｙ＝100d+10e+f　とおくと、

　　　(ｘ＋ｙ)²＝1000ｘ＋ｙ より、　（ｘ＋ｙ）（ｘ＋ｙ−１）＝999ｘ

　これを満たす ｘ＋ｙ は、999　、703　のみ。

　よって、　999^2＝998001　、703^2＝494209


（コメント）　111が3*37と素因数分解できるんですね！この結果を使って、ｘ＋ｙ＝703 を発
　　　　　　見しました。


　上記で用いられた手法を用いて、２桁の数の場合に「８１」しかないことは次のように示さ
れる。

　Ｎ＝10ａ＋ｂ　とおくと、題意より、　（ａ＋ｂ）²＝10ａ＋ｂ　なので、　（ａ＋ｂ）（ａ＋ｂー1）＝9ａ

　　ａ＋ｂ　と　ａ＋ｂー1　互いに素で、　ａ＋ｂ＜10

　このとき、　ａ＋ｂ＝9　のみが解なので、　（ａ＋ｂ）²＝81


　もちろん、次のようにしても求められる。

（別解）　Ｎ＝10ａ＋ｂ　とおくと、題意より、　（ａ＋ｂ）²＝10ａ＋ｂ

　展開して整理すると、　ａ²＋2（ｂ−5）ａ＋ｂ²−ｂ＝0

　ａの２次方程式とみて、実数解を持つことから、

　　（ｂ−5）²−（ｂ²−ｂ）＝−9ｂ＋25≧０　より、　ｂ≦25/9

　よって、整数 ｂ の値は、0　、1　、2

　これらに対して適する自然数 ａ の値は、　ｂ＝1　のとき、　ａ＝8　のみ。