ａ、ｂを複素数、ｃを純虚数でない複素数とし、ｉ を虚数単位とする。複素数平面において、
点zが虚軸全体を動くとき、
w=(az+b)/(cz+1)
で定まる点wの軌跡をCとする。次の3条件が満たされているとする。
(ア) z=i のときに、w=i となり、z=-i のときに、w=-i となる。
(イ) Cは単位円の周に含まれる。
(ウ) 点-1はCに属さない。
このとき、ａ、ｂ、ｃ の値はなにか？
よおすけさんからのコメントです。（平成３１年３月１８日付け）
この問題は、 2019年度の九州大学前期理系の問題５です。解答速報を出したほとんど
の大手予備校の解答例で、当初、途中の記述の一部で不備があったそうです。
※現在は修正済み
ＹｏｕＴｕｂｅでも、どなたかが取り上げていた問題ですね！鉛筆を持って、実際に解いてみ
ました。（平成３１年３月１９日付け）
（解） まず、（ア）の条件から、 (aｉ+b)/(cｉ+1)＝ｉ 、(−aｉ+b)/(−cｉ+1)＝−ｉ
分母を払って、 aｉ+b＝−ｃ＋ｉ 、−aｉ+b＝−ｃ−ｉ
辺々加えて、 ｂ＝−ｃ
辺々引いて、 aｉ＝ｉ なので、両辺に ｉ を掛けて、 ａ＝１ となる。
このとき、 w=(z−ｃ)/(cz+1)
次に、（イ）の条件から、点zが虚軸全体を動くとき、 ｜w｜＝１ である。
ｚ＝ｋ・ｉ （ｋは実数） とおくと、 ｜(ｋ・ｉ−ｃ)/(ｋcｉ+1)｜＝１
すなわち、 ｜ｋ・ｉ−ｃ｜＝｜ｋcｉ+1｜より、 ｜ｋ・ｉ−ｃ｜2＝｜ｋcｉ+1｜2
よって、 （ｋ・ｉ−ｃ）（−ｋ・ｉ−ｃ~）＝（ｋcｉ+1）（−ｋc~ｉ+1） を展開して、
ｋ2−ｋｃ~ｉ＋ｃｋｉ＋ｃｃ~＝ｋ2ｃｃ~＋ｋcｉ−ｋc~ｉ+1
ｋ2（１−ｃｃ~）−（１−ｃｃ~）＝０ より、 （ｋ2−１）（１−ｃｃ~）＝０
ｋは任意の実数なので、 １−ｃｃ~＝０ すなわち、 ｜ｃ｜＝１ である。
（点zが虚軸全体を動く→ｚ=0 とおく→｜w｜=｜−ｃ｜=｜ｃ｜=1 とした方が手っ取り早いかな？）
ところで、 (ｋ・ｉ−ｃ)/(ｋcｉ+1)＝−１ となるとき、 ｋ・ｉ−ｃ＝−ｋcｉ−1
ｋ（１＋ｃ）ｉ＝ｃ−１
今、１＋ｃ≠０ とすると、 ｋ＝（ｃ−１）/（１＋ｃ）ｉ
−（ｃ~−１）/（１＋ｃ~）ｉ＝−（ｃｃ~−ｃ）/（ｃ＋ｃｃ~）ｉ＝（ｃ−１）/（ｃ＋１）ｉ
よって、（ｃ−１）/（１＋ｃ）ｉ は実数となり、虚軸上の点ｚに対して、ｗ＝−１となるが、これ
は（ウ）の条件に反する。
よって、 １＋ｃ＝０ となり、 ｃ＝−１ で、 ｂ＝１ である。
このとき、 w=(z＋１)/(−z+1) となるので、 ｚ＝（ｗ−１）/（ｗ＋１） （ｗ≠−１）
ｚが虚軸上にあるための必要十分条件は、 ｚ＋ｚ~＝０
よって、 （ｗ−１）/（ｗ＋１）＋（ｗ~−１）/（ｗ~＋１）＝０
（ｗ−１）（ｗ~＋１）＋（ｗ~−１）（ｗ＋１）＝０
ｗｗ~＋ｗ−ｗ~−１＋ｗｗ~−ｗ＋ｗ~−１＝０
｜w｜＝１ （ｗ≠−１）
以上から、Ｃは単位円の周から点−１を除いた部分である。
以上から、求める ａ、ｂ、ｃ の値は、 ａ＝１、ｂ＝１、ｃ＝−１ （終）
DD++さんからのコメントです。（平成３１年３月１８日付け）
条件（ア）より、x についての高々二次の等式 (cx+1)x=ax+b は、x=±i で成立します。
よって、この等式は恒等式であるか、または c≠0 で (cx+1)x-ax-b=c(x^2+1) が恒等式です。
前者の場合、c=0、1=a、0=b より、与えられた式は、z=w となり、Cが単位円周に含まれない
ので不適。
後者の場合、1-a=0、-b=c より、与えられた等式から a、b を消去すると、w=(z-c)/(cz+1) と
なります。
z=0 のときも、|w|=1 であることから、|c|=1 です。
さて、ここで、c≠-1 であると仮定します。(c-1)/(c+1) という複素数について考えると、
c が虚数の場合は、単位円周上の円周角を考えれば、これは純虚数、c が実数、すなわち、
1の場合は0。
いずれの場合でも、z=(c-1)/(c+1) となる場合があり、このとき、
w={(c-1)-c(c+1)}/{c(c-1)+(c+1)}=(-c^2-1)/(c^2+1)=-1
となり、条件（ウ）に反します。従って、c≠-1 ではありえません。すなわち、c=-1 が必要条件
です。
a=1、b=1、c=-1 の場合、w=(z+1)/(-z+1) となり、Cは単位円から点-1を除いたものになる
ので、条件を満たします。
以上より、 a=1、b=1、c=-1
## cが純虚数じゃないのはどこで関係あったんだろう？
（コメント） 確かに、「cが純虚数でない」はどこに効いているのか分からないですね！
ポイントは、虚軸上の点ｚ＝ｋ・ｉ （ｋは実数） に対して、ｗ＝−１となるｗの存在を示す
ときに、ｗ＝(z−ｃ)/(ｃｚ + 1)＝−１ から、 ｚ＝（ｃ−１）/（１＋ｃ） で、このとき、
ｃｚ＋１＝（ｃ2−ｃ）/（１＋ｃ）＋１＝（ｃ2＋１）/（１＋ｃ） において、「cが純虚数でない」ので、
ｃ2＋１≠０ すなわち、ｃｚ＋１≠０ となり、確かにｗ＝−１となるｗが存在することを裏付
ける根拠になっているような．．．雰囲気。
DD++さんからのコメントです。（平成３１年３月２０日付け）
上記のコメントを見てわかりました。cが純虚数だと z=-1/c となる瞬間に分母がゼロに
なってしまうので、「zが虚軸全体を動く」ができなくなってしまうのですね。なるほど。
