・四元数要素の逆行列                      GAI 氏

 四元数の4つの単位元を 1、i、j、k とする。即ち、

  i^2=j^2=k^2=-1 、i*j=k 、j*k=i 、k*i=j 、j*i=-i*j 、k*j=-i 、i*k=-i

を満たす。このとき、この4つの単位元を要素にもつ2×2行列

A=[1 i]
  [j k]


の逆行列A^-1はどうなるか?


 PBさんからのコメントです。(平成31年3月1日付け)

 四元数要素の逆行列ですが、

A^-1=(1/2)[ 1 -j ]
      [ -i -k ]


とおけば、

 A(A^-1)=(1/2) [ 1 i ] [ 1 -j ]=(1/2) [ 1-i^2 -j-jk ] =[ 1 0 ]
          [ j k ] [ -i -k ]    [ j-ki -j^2-k^2 ] [ 0 1 ]


(A^-1)A=(1/2) [ 1 -j ] [ 1 i ]=(1/2) [ 1-j^2 -i-jk ] =[ 1 0 ]
         [ -i -k ] [ j k ]    [ -i-kj -i^2-k^2] [ 0 1 ]


です。

PS:四元数の単位元の定義の最後の式は、「i*k=-j」と思います。また、統一性を持たせる
  なら、「j*i=-j*i」の式も「j*i=-k」でしょうか…。


 GAI さんからのコメントです。(平成31年3月1日付け)

 一般に、2×2行列の逆行列に関しては、実数を成分とし、

A=[a11 a12]
  [a21 a22]


に対し、その逆行列A^-1は、

A^-1=1/(a11*a22-a12*a21)*[a22 -a12]
                         [-a21 a11]


で済ましてきた。これは、各成分が積に関して交換法則が成立しているからであり、四元数
のような交換法則が成立しないものには適応できない。

 この時は、

|A|11=a11-a12*a22^-1*a21 (右回り)
|A|12=a12-a11*a21^-1*a22 (左回り)
|A|21=a21-a22*a12^-1*a11 (左回り)
|A|22=a22-a21*a11^-1*a12 (右回り)

として、

A^-1=[|A|11^-1 |A|21^-1]
     [|A|12^-1 |A|22^-1]


で構成してやるとうまくいく。

A=[1 i]
  [j k]


なら、

|A|11=1-i*k^1*j=1+i*k*j=1-j^2=1+1=2
|A|12=i-1*j^-1*k=i+j*k=i+i=2*i
|A|21=j-k*i^-1*1=j+k*i=j+j=2*j
|A|22=k-j*1^-1*i=k-j*i=k+k=2*k

に対して、

A^-1=[2^-1     (2*j)^-1]
     [(2*i)^-1 (2*k)^-1]
    =[1/2      -j/2]
     [-i/2     -k/2]
    =-1/2*[-1 j]
          [ i k]


 これで確かに、

A*A^-1=A^-1*A=[1 0]
              [0 1]


が成立する。この方法は、また従来の

A=[1 2]
  [3 4]


に対しても、

|A|11=1-2*4^-1*3=1-2/4*3=-1/2
|A|12=2-1*3^-1*4=2-1/3*4=2/3
|A|21=3-4*2^-1*1=3-4/2=1
|A|22=4-3*1^-1*2=4-6=-2

 よって、

A^-1=[(-1/2)^-1    1^-1]
     [(2/3)^-1  (-2)^-1]
    =[-2      1]
     [3/2  -1/2]
    =-1/2*[ 4 -2]
          [-3  1]


となり、何ら遜色ない。


 DD++さんからのコメントです。(平成31年3月2日付け)

 何ら遜色ないことはないですね。

[1 1]
[0 1]

に対してとか。


 GAI さんからのコメントです。(平成31年3月3日付け)

 計算上 0^-1 が出現する所の成分は"0"として置くでどうでしょう?



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