・大学入試数学ドボン問題              よおすけ氏

 次のうち、平成時代(1989年〜2019年)に出題された問題を選びなさい。ただし、1問
だけ平成時代に出題されていない問題があります。
※答えるのは問題番号のみでかまいません。

出典:東京大学(問題1から問題11まで全問)

1.一辺の長さが1の正方形ABCDを考える。3点P、Q、Rはそれぞれ辺AB、AD、CD上にあ
  り、3点A、Q、Rおよび3点P、Q、Rはどちらも面積が1/3の三角形の3頂点であるとする。
   DR/AQの最大値、最小値を求めよ。

2.(1) 一般角θに対して、sinθ、cosθの定義を述べよ。
  (2) (1)で述べた定義にもとづき、一般角α、βに対して、
    sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ 、cos(α+β)=cosαcosβ-cosαcosβ
   を証明せよ。

3.円周率が3.05より大きいことを証明せよ。

4.10^210/(10^3+3)の整数部分のけた数と1の位の数字を求めよ。
  ただし、3^21=10460353203を用いてよい。

5.半径1cmの半球形の器が水平から角θだけ傾けて固定されている。
  ただし、0<θ<π/2とする。
  この器を毎秒π/18cm^3の割合で水を入れるとき、入れはじめてから(3+(cosθ)^2)秒後
 に器から水が流れ出した。このときのθの値を求めよ。

6.3以上9999以下の奇数aで、a^2-aが10000で割り切れるものをすべて求めよ。

7.(1)実数xが-1<x<1、x≠0をみたすとき、次の不等式を示せ。
      (1-x)^(1-1/x)<(1+x)^(1/x)
  (2)次の不等式を示せ。
    0.9999^101<0.99<0.9999^100

8.xy平面の放物線y=x^2上の3点P、Q、Rが次の条件を満たしている。
  △PQRは一辺の長さaの正三角形であり、点P、Qを通る直線の傾きは√2である。
  このとき、aの値を求めよ。

9.Aが100円硬貨を4枚、Bが50円硬貨を3枚投げ、硬貨の表が出た枚数の多い方を勝ちと
 し、同じ枚数のときは引き分けとする。硬貨の表、裏の出る確率はすべて1/2であるとする。
(1)Aの勝つ確率、Bの勝つ確率、引き分けの確率を求めよ。
(2)もし勝った方が相手の投げた硬貨を全部もらえるとしたら、AとBとどちらが有利か。

10.mを2015以下の正の整数とする。2015Cm が偶数となる最小のmを求めよ。

11.3次方程式x^3+3x^2-1=0の一つの解をαとする。
  (1)(2α^2+5α-1)^2をaα^2+bα+cの形の式で表せ。ただし、a、b、cは有理数とする。
  (2)上の3次方程式のα以外の二つの解を(1)と同じ形の式で表せ。


(コメント) 出題年を調査してみました。
1.2019
2.1999
3.2003
4.1989
5.1995
6.2005
7.2009
8.2004
9.1981
10.2015
11.1990
...ということで、答えは、9.かな!



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