GoGeometryの一連のProblem 1407-1411 について、所謂初等幾何でどのように証明した
ものか悩んでおります。

　例えば1407は図に描けば合同な直角三角形が4つ現れてなるへそで終わるのですが、そ
んなものが「証明」として認められるのかとつい思ってしまいます。皆様なら如何に解決なさ
るでしょうか。


　ハンニバル・フォーチュンさんからのコメントです。（平成３１年２月３日付け）

　1411 は open problem なのですね。


　DD++さんからのコメントです。（平成３１年２月３日付け）

　合同な直角三角形「3つ」じゃないかと思うんですが、4つめどこにあるんだろう……。これ
1407でいう△BDFに合同な直角三角形、4つどころか6つありますね。


　moonlight さんからのコメントです。（平成３１年２月６日付け）

　そうですね。四つというのは、「2つある円の中心のどちらかを頂点に持つもの」でした。


　ＰＢさんからのコメントです。（平成３１年２月８日付け）

　「１４１１」の初等幾何的な証明を思いついたのでメールしました。

Ｐｒｏｂｌｅｍ１４１１　The figure below shows a right triangle ABC (angle B = 90 degree) with
　　　　　　　　　　　the incircle I tangent to BC at D. The excircle E corresponding to BC is
　　　　　　　　　　　tangent to BC and tangent to the extensions of AB and AC at F, G, and
　　　　　　　　　　　H, respectively. The extensions of GD and FH meet at J. Prove that the
　　　　　　　　　　　triangle GJH is an isosceles right triangle.

	∠Ｂ＝９０°の直角三角形ABCの 　　内接円 Ｉ と辺ＢＣの接点をＤとする。 　　　△ABCの傍接円Ｅと各辺およびそ 　　の延長との接点をＦ、Ｇ、Ｈとする。 　　　また、直線ＧＤと直線ＨＦの交点を 　　Ｊとする。
このとき、△ＧＪＨは直角２等辺三角形であることを示せ。

（証明）　点の名称はそのまま使い、さらに、ＡＢと内接円 Ｉ の接点をＫとします。

　円外の点と、そこを通る２接線の接点、円の中心を結んでできる２つの直角三角形が合
同であること（△ＥＦＣ≡△ＥＨＣ　…等）、四角形ＫＩＤＢとＢＦＥＧが正方形であることは明ら
かとします。

　∠ＩＤＣ＝∠ＣＦＥ＝９０°で、（∠ＩＣＤ＋∠ＥＣＦ）×２＝１８０°より、　△ＩＣＤ∽△ＣＥＦ

　よって、　ＩＤ：ＤＣ＝ＣＦ：ＦＥ

　また、ＩＤ＋ＤＣ＝ＢＤ＋ＤＣ＝ＢＣ、ＣＦ＋ＦＥ＝ＣＦ＋ＦＢ＝ＢＣ　であるから、

　　ＩＤ＋ＤＣ＝ＣＦ＋ＦＥ

　加比の理より、　ＩＤ：ＤＣ＝ＣＦ：ＦＥ　から、　（ＩＤ＋ＤＣ）/ＤＣ＝（ＣＦ＋ＦＥ）/ＦＥ

　よって、　ＣＤ＝ＦＥ　となり、　ＣＤ＝ＧＥ　…(１)　である。

　ところで、　ＣＤ⊥ＡＧ、ＧＥ⊥ＡＧ　より、　ＣＤ//ＧＥ　…(２)

　(１)(２)より、四角形ＧＤＣＥは平行四辺形（さらに言えば、ひし形）であり、　ＧＪ//ＥＣ

　∠ＡＣＩ＝∠ＩＣＤ＝∠ＣＥＦ＝∠ＣＨＪ　（接弦定理）　より、　ＪＨ//ＩＣ　であるから、

　∠ＥＣＩ＝９０°より、　∠ＧＪＨ＝９０°…(３)

　また、　∠ＧＥＦ＝９０°で、∠ＧＨＦは、弧ＧＦに対する円周角なので、

　∠ＧＨＦ＝４５°…(４)

　（３）（４）より、△ＧＪＨは直角二等辺三角形である。　　（証終）


（コメント）　素晴らしい初等的な証明ですね！ＰＢさんに感謝します。