ゴラス数を調べることになる。
そこで、２辺の長さが整数(ａ，ｂ)であるとき、平行四辺形でその対角線（２つ存在）が共に
整数が起こるような一桁である(ａ，ｂ)の組合せはどんなものが考えられるか？
（ただし、ａ≠ｂ とする。）
なお、この時の２つの対角線の長さは何になるか？
DD++さんからのコメントです。（平成３１年２月１日付け）
対角線の長さの平方和が２辺の長さの平方和の２倍になることから探せばいいですね。
とりあえず、辺の長さが4と7で、対角線の長さが7と9というのは見つけましたが、一般的に
探すのはなかなかに面倒そう。
ＧＡＩ さんからのコメントです。（平成３１年２月２日付け）
あと３組存在できると思います。
DD++さんからのコメントです。（平成３１年２月２日付け）
辺の長さの平方和とその２倍が、それぞれ別の異なる２つの０でない平方数の和にならな
ければ平行四辺形になりません。面倒なので、「A007692」をカンニングして、ある数とその
２倍が揃っているのを探すと、
(4^2+7^2)*2 = 65*2 = 130 = 7^2+9^2
(6^2+7^2)*2 = 85*2 = 170 = 7^2+11^2
(7^2+9^2)*2 = 130*2 = 260 = 8^2+14^2
(8^2+9^2)*2 = 145*2 = 290 = 11^2+13^2
……と思ったのですが、辺の長さが異なる条件はあっても対角線の長さが等しい条件はない
ので、ピタゴラス数を用いて長方形を作る
(3^2+4^2)*2 = 25*2 = 50 = 5^2+5^2
(6^2+8^2)*2 = 100*2 = 200 = 10^2+10^2
も解ですかね？
ＧＡＩ さんからのコメントです。（平成３１年２月２日付け）
こちらが準備していたのは、平行四辺形の２辺(ａ，ｂ)=>できる２つの対角線(ｘ，ｙ)で、
(4,7)=>(7,9)
(6,7)=>(7,11)
(7,9)=>(8,14)
(8,9)=>(11,13)
の４タイプでした。長方形も含めると、
(3,4)=>(5,5)
(6,8)=>(10,10) ((3,4)に還元できますが･･･)
もパターンですね。そこで、次は、同じ(ａ，ｂ)の長さを有しながら、２通りに対角線を整数に
できる形状を有せる最小の組合わせの(ａ，ｂ)は？また３通りでは？
ただし長方形の形状は外すとする。（共に30以下の数で作れると思います。）
DD++さんからのコメントです。（平成３１年２月２日付け）
同じ辺の長さで、２種類の対角線
(10^2+15^2)*2 = 325*2 = 650 = 11^2+23^2 = 17^2+19^2
同じ辺の長さで、３種類の対角線
(23^2+24^2)*2 = 1105*2 = 2210 = 19^2+43^2 = 23^2+41^2 = 29^2+37^2
ついでに、同じ対角線の長さで、２種類の辺
(10^2+15^2)*2 = (17^2+6^2)*2 = 325*2 = 650 = 17^2+19^2
同じ対角線の長さで、３種類の辺
(23^2+24^2)*2 = (31^2+12^2)*2 = (32^2+9^2)*2 = 1105*2 = 2210 = 29^2+37^2
ＧＡＩ さんからのコメントです。（平成３１年２月３日付け）
お見事、正解です。そこで、今度は３つの整数辺(ａ，ｂ，ｃ)=(103，106，271)を考える。
この時、(a，b) 、(b，c) 、(c，a) を２辺に持つそれぞれの平行四辺形が整数対角線を持
ち得る形状はそれぞれ何種類ずつあるか？
DD++さんからのコメントです。（平成３１年２月３日付け）
人力じゃ手間がかかりすぎるので、実際には挑みませんが、例えば、103と271（4N+3型共
通素因数を持たないことが重要）なら、
・N=103^2+271^2 を計算し、素因数分解をし、正の奇約数の個数を求める
・x^2+y^2=N の整数解が正の奇約数の個数の4倍ある（ヤコビの二平方定理）ので、気合い
で全て求める
・そのうち 0<x<103, 271<y であるものを全て選び出す
・x+y と -x+y が対角線の長さの組の全パターン
です。
ＧＡＩ さんからのコメントです。（平成３１年２月３日付け）
手作業ではたいへんですね。結果は、
P:(103,106)=>(29,207),(101,183),(123,169)で３種類
Q:(106,271)=>(255,323)で１種類
R:(271,103)=>(244,328),(266,312)で２種類
従って、この３辺を持つ並行六面体では６タイプの各面での対角線が全て整数になる立体
が考えられるが、なんとこの中の１つが４つあるbody diagonal length（立体の内部にある線）
までが全て整数を取れるという。
さてその立体は、P、Rにおける形状をどれにしたものか？
また、この時の４つのbody diagonalの長さは何か？
長々と質問を繰り返してきましたが、この結果が如何に奇跡に近い組合わせであるかを感
じられると思い出題してきました。
例のEuler brick（オイラーの直方体）が各面の対角線が整数となる組合わせは色々と見つ
かってはいるが、内部の対角線（１種類しかないが）まで整数とするものは各辺の長さを相当
長いものまで検索されてはいるが未だに発見に至っていなく未解決の問題になっているのに
対し、2009年に平行六面体の内部の対角線まで整数となるものが見つかったというのがこの
結果だというのを知ったことを確認していたものを元に出題しておりました。
現在のコンピュータの力を利用して最後の形状を見つけてほしい。
DD++さんからのコメントです。（平成３１年２月３日付け）
対角線の長さは、 272、278、300、374
272^2+278^2+300^2+374^2 = (103^2+106^2+271^2)*4
272^2+278^2 = (103^2+255^2)*2
300^2+374^2 = (103^2+323^2)*2
272^2+300^2 = (106^2+266^2)*2
278^2+374^2 = (106^2+312^2)*2
272^2+374^2 = (271^2+183^2)*2
278^2+300^2 = (271^2+101^2)*2
ってことですか？
ＧＡＩ さんからのコメントです。（平成３１年２月４日付け）
上記から立体のイメージがとれなかったので、こちらが思っている図形を記しておきます。
今、(a,b,c)=(103,106,271) の３辺の長さにしておく。(103,106)=>(101,183) の形状を作る。
つまり、２辺a,bを、
（arccos((103^2+106^2-101^2)/(2*103*106))=1.00836･･･(≒57.774°）
の角度で平行四辺形を作れば、２つの対角線は、101,183 となる。
同じく、(106,271)=>(255,323) の形状をとる。
arccos((106^2+271^2-255^2)/(2*106*271))=1.22168･･･(≒69.997°)
の角度で平行四辺形を作れば、２つの対角線は、255,323 となる。
また、c,aは、1.33035･･･rad(≒76.223°) で、266,312の対角線を持つものにしておく。
そこで、３次元でOを始点とする３つのA,B,Cベクトルを考え、|A|=103、|B|=106、|C|=271とす
れば、
O(原点）、A、B、C、A+B、B+C、C+A、A+B+C
の終点は、a,b,cの長さを３辺とする平行６面体の８頂点となる。
（これを順にO,A,B,C,D,E,F,Gとする。）
そこで、４つのbody diagonalは
OG=|A+B+C| 、CD=|A+B-C| 、AE=|B+C-A| 、BF=|C+A-B|
なので、例えば、
OG^2=(A+B+C)・(A+B+C)=|A|^2+|B|^2+|C|^2+2*((A・B)+(B・C)+(C・A))
=103^2+106^2+271^2+2*(103*106*(103^2+106^2-101^2)/(2*103*106)
+106*271*(106^2+271^2-255^2)/(2*106*271)
+271*103*(271^2+103^2-266^2)/(2*271*103))
=139876
よって、 OG=√139876=374
他も同様に求めると、 CD=272 、AE=300 、BF=278
とピタリと整数となる。これで平行六面体の６つの対角線と４つの内部対角線はすべて整数
が現れる。
DD++さんからのコメントです。（平成３１年２月４日付け）
立体の対角線4つのうち任意の2つを選ぶと、それを対角線とする平行四辺形は1組の辺
と1組の面の対角線を辺に持ちます。それら 4C2=6 個の平行四辺形の形状を書きました。
