求めなさい。
3項間のような公式等はないのでしょうか。手も足も出ません。よろしくお願い致します
らすかるさんからのコメントです。（平成３１年１月３１日付け）
x[n+2]=3x[n+1]-12x[n-1] が、
x[n+2]+ax[n+1]+bx[n]=c(x[n+1]+ax[n]+bx[n-1])
と変形できたとすると、 c-a=3 、ac-b=0 、bc=-12
これを解いて、
a=-2-(5+2√6)^(1/3)-(5-2√6)^(1/3)≒-4.61
b=2{(9+3√6)^(1/3)+(9-3√6)^(1/3)}≒7.44
c=1-(5+2√6)^(1/3)-(5-2√6)^(1/3)≒-1.61
ここで、 y[n]=x[n+2]+ax[n+1]+bx[n] とおくと、y[n]=cy[n-1] 、y[0]=a+3b+7 なので、
y[n]=(a+3b+7)c^n
よって、 x[n+2]+ax[n+1]+bx[n]=(a+3b+7)c^n
a+3b+7=d≒24.7 とおいて、 x[n+2]+ax[n+1]+bx[n]=dc^n
これが、
x[n+2]+ex[n+1]+fc^(n+1)=g(x[n+1]+ex[n]+fc^n)
と変形できたとすると、 e-g=a 、eg=-b 、fg-fc=d
これを解いて(解の1組は)、
e=(i√(4b-a^2)+a)/2≒-2.31+1.46i
g=(i√(4b-a^2)-a)/2≒2.31+1.46i
f=d/(g-c)≒5.54-2.06i
ここで、 z[n]=x[n+1]+ex[n]+fc^n とおくと、 z[n+1]=gz[n] 、z[0]=3e+f+1 なので、
z[n]=(3e+f+1)g^n
よって、 x[n+1]+ex[n]+fc^n=(3e+f+1)g^n
3e+f+1=h≒-0.380+2.31i とおいて、 x[n+1]+ex[n]+fc^n=hg^n
これが、
x[n+1]+jc^(n+1)+kg^(n+1)=-e(x[n]+jc^n+kg^n)
と変形できたとすると、 jc+ej=f 、kg+ke=-h
これを解いて、
j=f/(c+e)≒1.41
k=-h/(e+g)≒-0.79-0.13i
ここで、 w[n]=x[n]+jc^n+kg^n とおくと、 w[n+1]=-ew[n] 、w[0]=j+k+3 なので、
w[n]=(j+k+3)(-e)^n
よって、 x[n]=(j+k+3)(-e)^n-jc^n-kg^n
従って、数列の一般項は、上記の変数を整理して、 x[n]=(3-j-k)e^n+jc^n+kg^n
ただし、 a=2+(5+2√6)^(1/3)+(5-2√6)^(1/3) 、b=2{(9+3√6)^(1/3)+(9-3√6)^(1/3)}
c=1-(5+2√6)^(1/3)-(5-2√6)^(1/3) 、d=√(4b-a^2) 、e=(a-id)/2 、g=(a+id)/2
f=(3b-a+7)/(g-c) 、j=f/(e-c) 、k=i(3e-f-1)/d （iは虚数単位）
さらに計算をゴリゴリ進めたところ、数列の一般項は、ωを1の虚数三乗根として
x[n]={{(9+3√6)^(1/3)+(9-3√6)^(1/3)}/9+1}・{1-(5+2√6)^(1/3)-(5-2√6)^(1/3)}^n
+{{(ω)(9+3√6)^(1/3)+(ω^2)(9-3√6)^(1/3)}/9+1}・{1-(ω^2)(5+2√6)^(1/3)-(ω)(5-2√6)^(1/3)}^n
+{{(ω^2)(9+3√6)^(1/3)+(ω)(9-3√6)^(1/3)}/9+1}・{1-(ω)(5+2√6)^(1/3)-(ω^2)(5-2√6)^(1/3)}^n
と書けることがわかりました。定数を定義して見やすくすると、
a=(9+3√6)^(1/3)、b=(9-3√6)^(1/3)、c=(5+2√6)^(1/3)、d=(5-2√6)^(1/3)、e=(-1+i√3)/2、
f=(-1-i√3)/2 として、
x[n]={(a+b)/9+1}(1-c-d)^n+{(ae+bf)/9+1}(1-cf-de)^n+{(af+be)/9+1}(1-ce-df)^n
となります。ちなみに、
{(9+3√6)^(1/3)+(9-3√6)^(1/3)}/9+1 と{(ω)(9+3√6)^(1/3)+(ω^2)(9-3√6)^(1/3)}/9+1 と
{(ω^2)(9+3√6)^(1/3)+(ω)(9-3√6)^(1/3)}/9+1 は、81x^3-243x^2+234x-74=0 の3解、
1-(5+2√6)^(1/3)-(5-2√6)^(1/3) と1-(ω^2)(5+2√6)^(1/3)-(ω)(5-2√6)^(1/3) と
1-(ω)(5+2√6)^(1/3)-(ω^2)(5-2√6)^(1/3) は、x^3-3x^2+12=0 の3解です。
つまり、 81x^3-243x^2+234x-74=0 の3解を、s[0]、s[1]、s[2]、
x^3-3x^2+12=0 の3解を、t[0]、t[1]、t[2] （ただしs[k]とt[k]の虚数部の符号が同じ）
とすれば、 x[n]=s[0]t[0]^n+s[1]t[1]^n+s[2]t[2]^n と表せるということです。
Ｓ（Ｈ）さんからのコメントです。（平成３１年２月１日付け）
初期値は、x0=3,x1=1,x2=7 と判明。漸化式が
x[n + 2] = 3*x[n + 1] + 4*x[n] - 12*x[n - 1]
なら、真に超容易です。らすかる様の最後の箇所を讀んでくだされば 瞬時に解けます。
x[n]=(-2)^n+3 2^n-3^n が答えです。
ＧＡＩ さんからのコメントです。（平成３１年２月１日付け）
ｘ[n+3]=3*ｘ[n+2]+4*ｘ[n+1]-12*ｘ[n] 、ｘ[0]=3、ｘ[1]=1、ｘ[2]=7 なら、
y0[n]=ｘ[n]、y1[n]=ｘ[n+1]、y2[n]=ｘ[n+2] として、Y[n]=[y0[n] y1[n] y2[n]]~ (3×1行列) とす
れば、行列A=｛[0,1,0]，[0,0,1]，[-12,4,3]｝に対して、 Y[n+1]=A*Y[n] 、Y[0]=[3 1 7]~ なる関
係を持つ。つまり、A*[x[n] x[n+1] x[n+2]]~=[x[n+1] x[n+2] x[n+3]]~ の関係にある。
そこで、行列Aのn乗A^nを求めることを行う。Aの最小多項式を求めると、
x^3 - 3*x^2 - 4*x + 12 で、これを因数分解して、（x - 3 1）（x - 2 1）（x + 2 1） から、固有
値 -2、2、3 がわかり、この固有値に対するスペクトル分解を満たす関数 fi(x) (i=1,2,3) を作
る。
f1(A)=f1(-2)*z11+f1(2)*z21+f1(3)*z31
f1(z)=1 に対しては、I=1*z11+1*z21+1*z31 (Iは３次正方行列の単位行列）･････（１）
f2(A)=f2(-2)*z11+f2(2)*z21+f2(3)*z31
f2(z)=zに対しては、A=-2*z11+2*z21+3*z31･････（２）
f3(A)=f3(-2)*z11+f3(2)*z21+f3(3)*z31
f3(z)=z^2に対しては、A^2=4*z11+4*z21+9*z31･････（３）
この３つの式から、[I A A^2]~=B*[z11 z21 z31]~
但し、B=｛[1,1,1]，[-2,2,3]，[4,4,9]｝ なる行列である。
これより、Bの逆行列を利用して、z11、z21、z31を解くと、
B^-1=｛[3/10,-1/4,1/20]，[3/2,1/4,-1/4]，[-4/5,0,1/5]｝
I=matid(3)=｛[1,0,0]，[0,1,0]，[0,0,1]｝
z11= 3/10*matid(3)-1/4*A+1/20*A^2=｛[3/10,-1/4,1/20]，[-3/5,1/2,-1/10]，[6/5,-1,1/5]｝
z21= 3/2*matid(3)+1/4*A-1/4*A^2=｛[3/2,1/4,-1/4]，[3,1/2,-1/2]，[6,1,-1]｝
z31= -4/5*matid(3)+1/5*A^2=｛[-4/5,0,1/5]，[-12/5,0,3/5]，[-36/5,0,9/5]｝
ここで、f(z)=z^n とすることで、f(A)=f(-2)*z11+f(2)*z21+f(3)*z31 より、
A^n=(-2)^n*z11+2^n*z21+3^n*z31
が手に入る。
Y[n]=[x[n] x[n+1] x[n+2]]~=A^n*Y[0]=A^n*[3 1 7]~ であることからA^nの第一行に着目して、
20*x[n]=3*{6*(-2)^n+30*2^n-16*3^n}+1*{-5*(-2)^n+5*2^n}+7*{(-2)^n-5*2^n+4*3^n}
=(18-5+7)*(-2)^n+(90+5-35)*2^n+(-48+28)*3^n
=20*(-2)^n+60*2^n-20*3^n
即ち、 x[n]=(-2)^n + 3*2^n - 3^n
これを計算していくと、
{x[n]};
{3,1,7,-11,-17,-179,-473,-1931,-5537,-18659,-54953,-173051,-515057,-1577939,-4717433,
-14283371,-42784577,-128878019,-386371913,-1161212891,-3482590097,-10456158899,
-31364282393,-94126401611,･･･}
が現れる。
らすかるさんからのコメントです。（平成３１年２月１日付け）
移項して、 x[n+2]-3x[n+1]-4x[n]+12x[n-1]=0
x^3-3x^2-4x+12=(x+2)(x-2)(x-3) から、x^3-3x^2-4x+12=0 の解は、-2,2,3なので、
前に解いた違う問題の結果から、x[n]=a・(-2)^n+b・2^n+c・3^n と表せることが予想できる。
x[0]=a+b+c=3 、x[1]=-2a+2b+3c=1 、x[2]=4a+4b+9c=7 を解くと、a=1、b=3、c=-1
x[n]=(-2)^n+3・2^n-3^n とおくと、
3x[n+1]+4x[n]-12x[n-1]
={3・(-2)^(n+1)+4・(-2)^n-12・(-2)^(n-1)}+3{3・2^(n+1)+4・2^n
-12・2^(n-1)}-{3・3^(n+1)+4・3^n-12・3^(n-1)}
={12・(-2)^(n-1)-8・(-2)^(n-1)-12・(-2)^(n-1)}+3{12・2^(n-1)+8・2^(n-1)
-12・2^(n-1)}-{27・3^(n-1)+12・3^(n-1)-12・3^(n-1)}
=-8・(-2)^(n-1)+3・8・2^(n-1)-27・3^(n-1)
=(-2)^(n+2)+3・2^(n+2)-3^(n+2)
=x[n+2]
となり、漸化式も満たす。
従って、一般項は、x[n]=(-2)^n+3・2^n-3^n と表せる。
（コメント） 私も上記の４項間漸化式に挑戦してみました。（平成３１年２月２日付け）
問 題 漸化式 ｘ1＝３、ｘ2＝１、ｘ3＝７、ｘn+3−３ｘn+2−４ｘn+1＋１２ｘn＝０ を解け。
（解） 与えられた漸化式は、 ｘn+3−５ｘn+2＋６ｘn+1＝−２（ｘn+2−５ｘn+1＋６ｘn） と変形さ
れるので、
ｘn+2−５ｘn+1＋６ｘn＝（−２）n-1（７−５＋１８）＝５（−２）n+1
さらに、この漸化式は、 ｘn+2−２ｘn+1−２（−２）n+1＝３（ｘn+1−２ｘn−２（−２）n） と変形
されるので、
ｘn+1−２ｘn−２（−２）n＝３n-1（１−６＋４）＝−３n-1
よって、 ｘn+1−２ｘn＝２（−２）n−３n-1＝−（−２）n+1−３n-1
ここで、 ｙn＝ｘn/（−２）n とおくと、 ｙn+1＋ｙn＝−１−３n-1/（−２）n+1
この漸化式は、 ｙn+1＋３n/（−２）n+1＝−（ｙn＋３n-1/（−２）n）−１ と変形される。
ここで、 ｚn＝ｙn＋３n-1/（−２）n とおくと、 ｚn+1＝−ｚn−１ と書ける。
ただし、 ｚ1＝ｙ1−１/２＝−ｘ1/２−１/２＝−２
よって、 ｚn+1＋１/２＝−（ｚn＋１/２） より、 ｚn＋１/２＝（−３/２）（−１）n-1
すなわち、 ｚn＝−１/２＋（−３/２）（−１）n-1 より、
ｙn＝−１/２＋（−３/２）（−１）n-1−３n-1/（−２）n
したがって、 ｘn＝（−２）nｙn＝（−２）n-1＋３・２n-1−３n-1 （終）
＃らすかるさんやＧＡＩさんの結果と一致して安心しました！
