枚のカードを取り出し横一列に並べる。
(1) 左端のカードが1でないとき、「中央のカードが1である」確率P1は？
(2) 左端のカードが1でなく、右端のカードがnでないとき、「中央のカードが1である」確率P2
は？
ただし、n≧3であるとする。
同じく、取り出す枚数を任意の５枚とした場合の
(1) 左端のカードが1でないとき、「中央のカードが1である」確率P1は？
(2) 左端のカードが1でなく、右端のカードがnでないとき、「中央のカードが1である」確率P2
は？
はどうなるか？（ただしn≧5であるとする。）
らすかるさんからのコメントです。（平成３１年１月２１日付け）
1枚目を取り出して左端に置き、2枚目を取り出して中央に置き、3枚目を取り出して右端
に置くと考えてよいので、n(奇数)がいくつでも確率は変わらないと思います。
(1) 1枚目で1以外を引いて、残りの1を含むn-1枚から2枚目で1を引く確率なので、1/(n-1)
(2) 1枚目が1以外かつ3枚目がn以外である確率は、
1-1/n-1/n+(1/n){1/(n-1)}=(n^2-3n+3)/{n(n-1)}
2枚目が1かつ3枚目がn以外である確率は、 (1/n){(n-2)/(n-1)}=(n-2)/{n(n-1)}
よって、求める確率は、 (n-2)/(n^2-3n+3)
ＧＡＩさんからのコメントです。（平成３１年１月２２日付け）
この問題を思いついたのは、カードを３枚並べる時、実際に1〜3の番号のカードを並べた
とき、最初が1でなく中央に1がくるパターンを調べたら1/2、1〜4の番号なら1/3、1〜5の番
号なら1/4、･･･であったので、1〜nの番号で考えたら 1/(n-1) なんだ！と思った。
また、最後のカードが一般に最高に大きい数字が来ない中で、中央が1であるものを調査
していくと、1/3,2/7,3/13,4/21,5/31,･･･（実験より出した数列）が起こってくるので、一般に、
1〜nの番号で式を作っていくと、nP3-(n-1)P2-{n-2)P1+(n-2)P2}=(n-2)*(n^2-3*n+3)中、
(n-1)P1+(n-2)P2=(n-2)^2が中央に1がくるパターンとなるので、その確率を
(n-2)/(n^2-3*n+3)と一応表せたのですが、らすかるさんの式を見てみると、どのように思考
を進めてあるのか、一生懸命読み取ろうとやっているのですが、まだ掴めないでいます。
すみませんが少し解説付きで説明してもらえませんか？
（遥かにスッキリと結論に至る方法なのでその考え方を知りたい。）
また、取り出す枚数を５枚にしても同じ確率になることも、実験して初めて気付いて知った
ので、出題に追加していたのですが、これも解く前から既に見破られていたのにびっくりです。
らすかるさんからのコメントです。（平成３１年１月２２日付け）
(1枚目が1以外かつ3枚目がn以外である確率)
=1-(1枚目が1または3枚目がnである確率)
=1-{(1枚目が1である確率)+(3枚目がnである確率)-(1枚目が1かつ3枚目がnである確率)}
=1-(1枚目が1である確率)-(3枚目がnである確率)+(1枚目が1かつ3枚目がnである確率)
=1-1/n-1/n+(1/n){1/(n-1)}
=(n^2-3n+3)/{n(n-1)}
(1枚目が1以外かつ2枚目が1かつ3枚目がn以外である確率)
=(2枚目が1かつ3枚目がn以外である確率)
=(1/n)・{(n-2)/(n-1)}
=(n-2)/{n(n-1)}
条件付き確率の定義から、
(1枚目が1以外かつ3枚目がn以外の場合に2枚目が1である確率)
=(1枚目が1以外かつ2枚目が1かつ3枚目がn以外である確率)
÷(1枚目が1以外かつ3枚目がn以外である確率)
={(n-2)/{n(n-1)}}÷{(n^2-3n+3)/{n(n-1)}}
=(n-2)/(n^2-3n+3)
（補足） (1枚目が1である確率)は、(1枚目がkである確率)（1≦k≦n）が均等なので、n通り
中1通りで、1/n。これは1枚目に限らないので、(3枚目がnである確率)も同じく1/n。
(1枚目が1かつ3枚目がnである確率)は、(1枚目が1かつ2枚目がnである確率)と同じであ
り、(1枚目が1かつ2枚目がnである確率)は、1枚目が1である確率が1/n、そのとき残りn-1
枚中の1枚がnなので、2枚目がnである確率は1/(n-1)、よって、
(1枚目が1かつ3枚目がnである確率)=(1/n){1/(n-1)}
(2枚目が1かつ3枚目がn以外である確率)は、(1枚目が1かつ2枚目がn以外である確率)と
同じであり、1枚目が1である確率が1/n、そのとき残りn-1枚中のn-2枚がn以外なので、2枚
目がn以外である確率は、(n-2)/(n-1)、よって、
(2枚目が1かつ3枚目がn以外である確率)=(1/n){(n-2)/(n-1)}
あるいは、
(1枚目が1かつ2枚目がn以外である確率)=(1枚目が1である確率)
−(1枚目が1かつ2枚目がnである確率)
=1/n-(1/n){1/(n-1)}
=(n-2)/{n(n-1)}
のようにも算出できます。
