白く、これって拡張できぬものかと
((a+b)^2+(a-c)^2+(a-d)^2+(b+c)^2+(b+d)^2+(c-d)^2+(a-b+c+d)^2)/4=a^2+b^2+c^2+d^2
((a+b)^2+(a-c)^2+(a+d)^2+(a-e)^2+(b+c)^2+(b-d)^2+(b+e)^2+(c-d)^2
+(c+e)^2+(d-e)^2-(a+b-c+d-e)^2-4b(c-d+e))/3
=a^2+b^2+c^2+d^2+e^2
などを構成したものの、いまいち形に不満が残る。
何か展開すると意外な結果と思わせるものは作れないものでしょうか？皆さんのお知恵を
お借りしたい。
らすかるさんからのコメントです。（平成３１年１月１７日付け）
例えば、 {(a-b)^2+(a+b)}^2/2 = a^2+b^2
{(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2+(a+b+c)^2}/3 = a^2+b^2+c^2
{(a-b)^2+(a-c)^2+(a-d)^2+(b-c)^2+(b-d)^2+(c-d)^2+(a+b+c+d)^2}/4 = a^2+b^2+c^2+d^2
{(a-b)^2+(a-c)^2+(a-d)^2+(a-e)^2+(b-c)^2+(b-d)^2+(b-e)^2
+(c-d)^2+(c-e)^2+(d-e)^2+(a+b+c+d+e)^2}/5 = a^2+b^2+c^2+d^2+e^2
は、いかがでしょうか。
りらひいさんからのコメントです。（平成３１年１月１７日付け）
(a-b)^2+(b-c)^2+(a+c)^2-(a-b+c)^2＝a^2+b^2+c^2 は、次の式
(a+b)^2+(a+c)^2+(b+c)^2-(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2
の中のbを-bに置き換えたものですよね。
そこで、次のようなものはどうでしょう。
(a+b+c)^2+(a+b+d)^2+(a+c+d)^2+(b+c+d)^2-2*(a+b+c+d)^2=a^2+b^2+c^2+d^2
(a+b+c+d)^2+(a+b+c+e)^2+(a+b+d+e)^2+(a+c+d+e)^2+(b+c+d+e)^2-3*(a+b+c+d+e)^2
=a^2+b^2+c^2+d^2+e^2
(a+b+c+d+e)^2+(a+b+c+d+f)^2+(a+b+c+e+f)^2+(a+b+d+e+f)^2+(a+c+d+e+f)^2
+(b+c+d+e+f)^2-4*(a+b+c+d+e+f)^2=a^2+b^2+c^2+d^2+e^2+f^2
…
これらの式の中の好きな文字の符号を入れ替える。
たとえば、一つ目の式で、bとdの符号を変えて少しいじれば次のようになります。
(a+c-b)^2+(a+c-d)^2+(b+d-a)^2+(b+d-c)^2-2*(a-b+c-d)^2=a^2+b^2+c^2+d^2
ＧＡＩさんからのコメントです。（平成３１年１月１８日付け）
これらの式の中の好きな文字の符号を入れ替える。
(a-b+c-d+e)^2+(a-b+c-d-f)^2+(a-b+c+e-f)^2+(a-b-d+e-f)^2+(a+c-d+e-f)^2
+(b-c+d-e+f)^2-4*(a-b+c-d+e-f)^2
を展開せよ、は思ってもいない結果を引き出してくれますね。しかもどこまでも拡張すること
も可能です。いやー聞いてみるもんですね、こんな技がわかって嬉しいです。ありがとうござ
いました。
りらひいさんからのコメントです。（平成３１年１月１８日付け）
拡張拡張楽しいな。
λに好きな数を入れて次の式を計算してください。
λ*{(a-b)^2+(a+c)^2+(a-d)^2+(b-c)^2+(b+d)^2+(c-d)^2}
+(1-2λ)*{(a-b+c)^2+(a-b-d)^2+(a+c-d)^2+(b-c+d)^2}
-(2-3λ)*(a-b+c-d)^2
λ,μに好きな数を入れて次の式を計算してください。
λ*{(a-b)^2+(a+c)^2+(a-d)^2+(a+e)^2+(b-c)^2+(b+d)^2+(b-e)^2+(c-d)^2+(c+e)^2+(d-e)^2}
+μ*{(a-b+c)^2+(a-b-d)^2+(a-b+e)^2+(a+c-d)^2+(a+c+e)^2+(a-d+e)^2+(b-c+d)^2+(b-c-e)^2
+(b+d-e)^2+(c-d+e)^2}
+(1-3λ-3μ)*{(a-b+c-d)^2+(a-b+c+e)^2+(a-b-d+e)^2+(a+c-d+e)^2+(b-c+d-e)^2}
-(3-8λ-6μ)*(a-b+c-d+e)^2
λ,μ,νに好きな数を入れて次の式を計算してください。
λ*{(a-b)^2+(a+c)^2+(a-d)^2+(a+e)^2+(a-f)^2+(b-c)^2+(b+d)^2+(b-e)^2+(b+f)^2+(c-d)^2
+(c+e)^2+(c-f)^2+(d-e)^2+(d+f)^2+(e-f)^2}+μ*{(a-b+c)^2+(a-b-d)^2+(a-b+e)^2+(a-b-f)^2
+(a+c-d)^2+(a+c+e)^2+(a+c-f)^2+(a-d+e)^2+(a-d-f)^2+(a+e-f)^2+(b-c+d)^2+(b-c-e)^2
+(b-c+f)^2+(b+d-e)^2+(b+d+f)^2+(b-e+f)^2+(c-d+e)^2+(c-d-f)^2+(c+e-f)^2+(d-e+f)^2}
+ν*{(a-b+c-d)^2+(a-b+c+e)^2+(a-b+c-f)^2+(a-b-d+e)^2+(a-b-d-f)^2+(a-b+e-f)^2
+(a+c-d+e)^2+(a+c-d-f)^2+(a+c+e-f)^2+(a-d+e-f)^2+(b-c+d-e)^2+(b-c+d+f)^2+(b-c-e+f)^2
+(b+d-e+f)^2+(c-d+e-f)^2}
+(1-4λ-6μ-4ν)*{(a-b+c-d+e)^2+(a-b+c-d-f)^2+(a-b+c+e-f)^2+(a-b-d+e-f)^2
+(a+c-d+e-f)^2+(b-c+d-e+f)^2}-(4-15λ-20μ-10ν)*(a-b+c-d+e-f)^2
DD++さんからのコメントです。（平成３１年１月１８日付け）
直接の拡張じゃないですが、
(-a+b+c+d)^2+(a-b+c+d)^2+(a+b-c+d)^2+ (a+b+c-d)^2
の展開も綺麗になりますよね。
ＧＡＩさんからのコメントです。（平成３１年１月１９日付け）
りらひいさん、おったまげ〜です。もうとっても結果を想像することも、鉛筆もって展開してみ
ようとも思わなくなりますが、計算ソフトでやらせてみると、なんとパラメータの値如何に関わ
らずスッキリではありませんか！よくこんな式を思いつけますね。どんな発想をすればこんな
式が作れるんですか？
次の a^2+b^2+c^2+d^2+e^2+f^2+g^2 を挑戦するときのパラメータでの関係式の最後の２
つはどんな式になるのですか？
(直前の1-4λ-6μ-4ν,4-15λ-20μ-10νに相当する部分)
りらひいさんからのコメントです。（平成３１年１月１９日付け）
スタートとして対称な二次式を使っているので、展開したときの係数は二乗項と交差項の2
種類しか現れません。係数を決めるのは、二乗項の係数が1になり交差項の係数が0になる
ようにもっていけばいいだけです。（線形連立方程式）
対称式ができてしまえばあとは好きな文字の符号を変えるだけです。
次の a^2+b^2+c^2+d^2+e^2+f^2+g^2 を挑戦するときのパラメータでの関係式の最後の２
つはどんな式になるのですか？
(直前の1-4λ-6μ-4ν,4-15λ-20μ-10νに相当する部分)
()内 二乗項 交差項/2
2文字 6 1
3文字 15 5
4文字 20 10
5文字 15 10
6文字 6 5
7文字 1 1
なので、6λ+15μ+20ν+15ξ+6x+y=1、λ+5μ+10ν+10ξ+5x+y=0 を解けば、
x=1-5λ-10μ-10ν-5ξ、y=-(5-24λ-45μ-40ν-15ξ) となる。
さて、前のとは別系統で。拡張拡張楽しいな。
ω^3=1のとき、次の式を計算してください。
(a+ωb)^3+(ωa+c)^3+(a+d)^3+(b+ωc)^3+(ωb+d)^3+(c+ωd)^3
-(a+ωb+ω^2c)^3-(a+ωb+d)^3-(ωa+c+ωd)^3-(b+ωc+ω^2d)^3
+(a+ωb+ω^2c+d)^3
i^2=-1のとき、次の式を計算してください。
(a+ib)^4+(a-c)^4+(a-id)^4+(a+e)^4+(b+ic)^4+(b-d)^4+(b-ie)^4+(c+id)^4+(c-e)^4+(d+ie)^4
-(a+ib-c)^4-(a+ib-id)^4-(a+ib+e)^4-(a-c-id)^4-(a-c+e)^4-(a-id+e)^4-(b+ic-d)^4-(b+ic-ie)^4
-(b-d-ie)^4-(c+id-e)^4+(a+ib-c-id)^4+(a+ib-c+e)^4+(a+ib-id+e)^4+(a-c-id+e)^4+(b+ic-d-ie)^4
-(a+ib-c-id+e)^4
ＧＡＩさんからのコメントです。（平成３１年１月２０日付け）
7文字に対する展開式に成功できました。全部で120項の式が並んだ姿は壮観です。
これをすべて展開するとパラパラと消えていき、 a^2+b^2+c^2+d^2+e^2+f^2+g^2 しか残ら
ないなんて凄い。
