cos(Pi/3)
=cos(Pi/5)+cos(3*Pi/5)
=cos(Pi/7)+cos(3*Pi/7)+cos(5*Pi/7)
=cos(Pi/9)+cos(3*Pi/9)+cos(5*Pi/9)+cos(7*Pi/9)
=cos(Pi/11)+cos(3*Pi/11)+cos(5*Pi/11)+cos(7*i/11)+cos(9*Pi/11)
=cos(Pi/13)+cos(3*Pi/13)+cos(5*Pi/13)+cos(7*i/13)+cos(9*Pi/13)+cos(11*Pi/13)
=･････････････････････････
=1/2

　なお、これらを

sin(13*Pi/6)
=sin(23*Pi/10)+sin(19*Pi/10)
=sin(33*Pi/14)+sin(29*Pi/14)+sin(25*Pi/14)
=sin(43*Pi/18)+sin(39*Pi/18)+sin(35*Pi/18)+sin(31*Pi/18)
=･･･････････
=1/2

と直せなくもないが、見た目cosの方が見栄えする。

cos(2*Pi/3)
=cos(2*Pi/5)+cos(4*Pi/5)
=cos(2*Pi/7)+cos(4*Pi/7)+cos(6*Pi/7)
=cos(2*Pi/9)+cos(4*Pi/9)+cos(6*Pi/9)+cos(8*Pi/9)
=cos(2*Pi/11)+cos(4*Pi/11)+cos(6*Pi/11)+cos(8*i/11)+cos(10*Pi/11)
=cos(2*Pi/13)+cos(4*Pi/13)+cos(6*Pi/13)+cos(8*i/13)+cos(10*Pi/13)+cos(12*Pi/13)
=･････････････････････････
=-1/2

=cos(Pi/7)-cos(2*Pi/7)+cos(3*Pi/7)
=cos(Pi/9)-cos(2*Pi/9)+cos(3*Pi/9)-cos(4*Pi/9)
=cos(Pi/11)-cos(2*Pi/11)+cos(3*Pi/11)-cos(4*Pi/11)+cos(5*Pi/11)
=cos(Pi/13)-cos(2*Pi/13)+cos(3*Pi/13)-cos(4*Pi/13)+cos(5*Pi/13)-cos(6*Pi/13)
=････････････････････････
=1/2

cos(Pi/3)-cos(2*Pi/3)
=cos(Pi/5)-cos(2*Pi/5)+cos(3*Pi/5)-cos(4*Pi/5)
=cos(Pi/7)-cos(2*Pi/7)+cos(3*Pi/7)-cos(4*Pi/7)+cos(5*Pi/7)-cos(6*Pi/7)
=cos(Pi/11)-cos(2*Pi/11)+cos(3*Pi/11)-cos(4*Pi/11)+cos(5*Pi/11)-cos(6*Pi/11)
+cos(7*i/11)-cos(8*Pi/11)+cos(9*Pi/11)-cos(10*Pi/11)
=cos(Pi/13)-cos(2*Pi/13)+cos(3*Pi/13)-cos(4*Pi/13)+cos(5*Pi/13)-cos(6*Pi/13)
+cos(7*i/13)-cos(8*Pi/13)+cos(9*Pi/13)-cos(10*Pi/13)+cos(11*Pi/13)-cos(12*Pi/13)
=･･･････････････････････
=1

と、成立しそうです。これって当たり前なんですかね？


　DD++さんからのコメントです。（平成３１年１月１２日付け）

　大学入試で時々見るやつですね。2sin(Pi/(2n+1)) を分子分母にかけて和積の公式を使う
と1つの項を残して全て消え、残った項は、sin(Pi/(2n+1))で約分できて、1/2 になります。


　らすかるさんからのコメントです。（平成３１年１月１２日付け）

(2個目の解)　　z=e^(2πi/(2n+1))　とおくと、Σ[k=0〜2n]z^k=0

　z^k+z^(2n+1-k)=2cos(2kπ/(2n+1))なので、　1+2Σ[k=1〜n]cos(2kπ/(2n+1))=0

　∴Σ[k=1〜n]cos(2kπ/(2n+1))=-1/2

(1個目の解)　　cos(π-x)=-cos(x)　から、Σ[k=1〜n]cos(π-2kπ/(2n+1))=1/2

　Σ[k=1〜n]cos((2n+1-2k)π/(2n+1))=1/2　より、　Σ[k=1〜n]cos((2k-1)π/(2n+1))=1/2

(3個目の解)　　nが3以上の奇数のとき、cos(π-x)=-cos(x)　から、

Σ[k=1〜n]cos((2k-1)π/(2n+1))
=Σ[k=1〜(n+1)/2]cos((2k-1)π/(2n+1)) + Σ[k=(n+3)/2〜n]cos((2k-1)π/(2n+1))
=Σ[k=1〜(n+1)/2]cos((2k-1)π/(2n+1)) - Σ[k=(n+3)/2〜n]cos(π-(2k-1)π/(2n+1))
=Σ[k=1〜(n+1)/2]cos((2k-1)π/(2n+1)) - Σ[k=(n+3)/2〜n]cos((2n-2k+2)π/(2n+1))
=Σ[k=1〜(n+1)/2]cos((2k-1)π/(2n+1)) - Σ[k=1〜(n-1)/2]cos(2kπ/(2n+1))
=Σ[k=1〜n](-1)^(k-1)・cos(kπ/(2n+1))

　nが2以上の偶数のとき、cos(π-x)=-cos(x)　から、

Σ[k=1〜n]cos((2k-1)π/(2n+1))
=Σ[k=1〜n/2]cos((2k-1)π/(2n+1)) + Σ[k=n/2+1〜n]cos((2k-1)π/(2n+1))
=Σ[k=1〜n/2]cos((2k-1)π/(2n+1)) - Σ[k=n/2+1〜n]cos(π-(2k-1)π/(2n+1))
=Σ[k=1〜n/2]cos((2k-1)π/(2n+1)) - Σ[k=n/2+1〜n]cos((2n-2k+2)π/(2n+1))
=Σ[k=1〜n/2]cos((2k-1)π/(2n+1)) - Σ[k=1〜n/2]cos(2kπ/(2n+1))
=Σ[k=1〜n](-1)^(k-1)・cos(kπ/(2n+1))

(4個目の解)=(1個目の解)-(2個目の解)=1