などのややこしい数値を持ち、まあ整数をなすものもあるが、それらの総和を出す計算は躊
躇する。
これを、√100、や√1000まで求める手段は計算機が手元にない限り不可能に思える。あ
るいはこれを求める公式を見たことがない。
ところが、ｎがいくら大きくても（むしろ大きい値ほど精度よく）、この値を近似できる式が
2/3*n*√n+1/2*√n+zeta(-1/2)
で計算されることが起こるという。ここに、zeta(-1/2)=-0.2078862249･･･ なので、ほとんど
無視してもよい。
＜計算機で確認したもの＞
gp > forstep(n=10,100,10,print(n";"sum(k=1,n,sqrt(k))
" VS "2/3*n*sqrt(n)+1/2*sqrt(n)+zeta(-1/2)))
10：22.468278186204100157039479555644113189 VS 22.455103672896030646641430343037433523
20：61.665977811419800798373345724821328856 VS 61.656661152516827034636498109501593212
30：112.08284521569290915495323220603555117 VS 112.07523806358169869266149874876738816
40：171.61578800450060945466610787558056526 VS 171.60919997750458913925590918878065770
50：239.03580060352078449404044622624437680 VS 239.02990807647122452293503578674354232
60：313.50914394268331129287265184903176436 VS 313.50376481782341313350319065697731918
70：394.42173973009665989298125953253191680 VS 394.41675962359494556368716543661638320
80：481.29674339583219687903641670524025080 VS 481.29208492997736006075808994140443340
90：573.74990114111159942525371250045225701 VS 573.74550909558349419178187158914136457
100：671.46294710314775393421409688040862377 VS 671.45878044168931210064935994126961737
gp > forstep(n=100,1000,100,print(n";"sum(k=1,n,sqrt(k))
" VS "2/3*n*sqrt(n)+1/2*sqrt(n)+zeta(-1/2)))
100：671.46294710314775393421409688040862377 VS 671.45878044168931210064935994126961737
200：1892.4842110283490892022250433399845877 VS 1892.4812647510148524135761025085822125
300：3472.5563885764091284314921268217293301 VS 3472.5539829506216189565126079938770464
400：5343.1275304415265518959094995850985922 VS 5343.1254471083559787673160266079362841
500：7464.5342420517086623499330308541508006 VS 7464.5323786618205819466074573891801167
600：9810.0002346561354644780900588269917073 VS 9809.9985336216509287141054124716979755
700：12359.861896817032384396050147826929468 VS 12359.860321965101687394030955692681240
800：15098.880387850866149541470994134318569 VS 15098.878914711767449806679305420146103
900：18014.793502663890100857876757266744439 VS 18014.792113775022645433982693274602951
1000：21097.455887480735355385273701852302141 VS 21097.454569865060088753267457214890101
実質ｎと√ｎだけの数量で決められることが痛快です。
らすかるさんからのコメントです。（平成３１年１月８日付け）
2/3*n*√n+1/2*√n+zeta(-1/2) について、∫[1〜n]√xdx を台形近似すると、
∫[1〜n]√xdx≒(√1+√2)/2+(√2+√3)/2+…+(√(n-1)+√n)/2=(Σ[k=1〜n]√n)-(1+√n)/2
となり、これから、
Σ[k=1〜n]√n≒(1+√n)/2+∫[1〜n]√xdx=(1+√n)/2+(2/3)(n^(3/2)-1)=(2/3)n√n+(1/2)√n-1/6
という式が得られます。そして、
lim[n→∞](Σ[k=1〜n]√n)-{(2/3)n√n+(1/2)√n}=zeta(-1/2)
なので、
Σ[k=1〜n]√n≒(2/3)n√n+(1/2)√n+zeta(-1/2)
となりますね。
ＧＡＩ さんからのコメントです。（平成３１年１月９日付け）
lim[n→∞](Σ[k=1〜n]√n)-{(2/3)n√n+(1/2)√n}=zeta(-1/2) について、自分の計算機で
の確認ができませんでした。
この式が導出される経過が、恒等式 3(a+b)^2=4(a^2+ab+b^2)-(a-b)^2 を利用し、両辺
を6(a+b)で割って、
1/2*(a+b)=2*(a^3-b^3)/(3*(a^2-b^2))-(a^2-b-2)^2/(6*(a+b)^3)････････A
ここで、 a=sqrt(k)、b=sqrt(k-1) と置くと、a^2-b^2=1で、k=1,2,3,･･･,n とすると、
Aの左辺＝sqrt(1)+sqrt(2)+sqrt(3)+･･･+sqrt(n-1)+1/2*sqrt(n)････････B
Aの右辺＝2/3*(1*sqrt(1)-0*sqrt(0)+2*sqrt(2)-1*sqrt(1)+3*sqrt(3)-2*sqrt(2)+
･････+n*sqrt(n)-(n-1)*sqrt(n-1))-1/6*Σ[k=1,n]1/(sqrt(k-1)+sqrt(k))^3
＝2/3*n*sqrt(n)-1/6*Σ[k=1,n]1/(sqrt(k-1)+sqrt(k))^3････････C
B、Cに、1/2*sqrt(n) を加えて、
sqrt(1)+sqrt(2)+sqrt(3)+･･･+sqrt(n)
=2/3*n*sqrt(n)+1/2*sqrt(n)-1/6*Σ[k=1,n]1/(sqrt(k-1)+sqrt(k))^3
ここに、-1/6*Σ[k=1,n]1/(sqrt(k-1)+sqrt(k))^3 での計算を、n->∞で処理すれば、これが
zeta(-1/2)と一致することは確認できました。
以上のことから例の近似式が起こると思われました。
