[1] ∫[1/π,1/2]log(［1/x］)dx ただし、［x］はガウス記号
[2] ∫[0,π]sin(2019*x)/sin(x)dx
[3] ∫[e^(π/6),e^(π/3)]sin(log(x))dx
[4] ∫[0,π/2]log(sin(x))dx
（コメント） パッと見て計算してみようと思い立つのは、[3]と[4]くらいかな？
（[3]の解）
∫[e^(π/6),e^(π/3)]sin(log(x))dx
＝［ｘ・sin(log(x))］e^(π/6) e^(π/3)−∫[e^(π/6),e^(π/3)]cos(log(x))dx
＝（
/２）e^(π/3)−（１/２）e^(π/6)−∫[e^(π/6),e^(π/3)]cos(log(x))dxここで、
∫[e^(π/6),e^(π/3)]cos(log(x))dx
＝［ｘ・cos(log(x))］e^(π/6) e^(π/3)＋∫[e^(π/6),e^(π/3)]sin(log(x))dx
＝（１/２）e^(π/3)−（
/２）e^(π/6)＋∫[e^(π/6),e^(π/3)]sin(log(x))dxよって、
∫[e^(π/6),e^(π/3)]sin(log(x))dx
＝｛（
−１）/２｝｛e^(π/3)＋e^(π/6)｝−∫[e^(π/6),e^(π/3)]sin(log(x))dxから、 ∫[e^(π/6),e^(π/3)]sin(log(x))dx＝｛（
−１）/４｝｛e^(π/3)＋e^(π/6)｝（[4]の解） 厳密には、定積分が収束することを示す必要があるのかな？
（２/π）ｘ≦sin（ｘ）≦ｘ より、 log(（２/π）ｘ)≦log(sin（ｘ）)≦log(ｘ)
ここで、∫[ε,π/2]log(x)dx＝［ｘlog(ｘ)−ｘ］επ/２＝(π/2)log(π/2)−π/2−εlog(ε)−ε
ε→０ のとき、 εlog(ε)→０ なので、∫[０,π/2]log(x)dx は収束する。
同様に、∫[０,π/2]log(（２/π）x)dx も収束するので、∫[0,π/2]log(sin(x))dxは収束する。
ｘ＝２θとおくと、 ｄｘ＝２ｄθ で、
∫[0,π/2]log(sin(x))dx
＝2∫[0,π/4]log(sin(2θ))dθ
＝2（∫[0,π/4]log 2 dθ＋∫[0,π/4]log(sin(θ))dθ＋∫[0,π/4]log(cos(θ))dθ）
＝(π/2)log 2＋2（∫[0,π/4]log(sin(θ))dθ＋∫[0,π/4]log(cos(θ))dθ）
∫[0,π/4]log(cos(θ))dθ において、θ＝π/２−τ とおくと、 ｄθ＝−ｄτ なので、
∫[0,π/4]log(cos(θ))dθ＝−∫[π/2,π/4]log(sin(τ))dτ＝∫[π/4,π/2]log(sin(τ))dτ
よって、
∫[0,π/4]log(sin(θ))dθ＋∫[0,π/4]log(cos(θ))dθ
＝∫[0,π/4]log(sin(θ))dθ＋∫[π/4,π/2]log(sin(τ))dτ
＝∫[0,π/4]log(sin(θ))dθ＋∫[π/4,π/2]log(sin(θ))dθ
＝∫[0,π/2]log(sin(θ))dθ＝∫[0,π/2]log(sin(x))dx
なので、 ∫[0,π/2]log(sin(x))dx＝(π/2)log 2＋2∫[0,π/2]log(sin(x))dx
したがって、 ∫[0,π/2]log(sin(x))dx＝−(π/2)log 2
ＧＡＩ さんからのコメントです。（平成３０年１２月２９日付け）
[2]では、 sin((2*n+1)*x)/sin(x)=1+2*Σ[k=1,n]cos(2*k*x) が一般に成立することが面白
かったので出題しました。他に、
sin(2*n*x)/sin(x)=2*Σ[k=1,n]cos((2*k-1)*x)
cos((2*n+1)*x)/cos(x)=(-1)^n*(1+2*Σ[k=1,n](-1)^k*cos(2*k*x))
の関係が成立していけそうです。
（コメント） なるほど！sin((2*n+1)*x)/sin(x)=1+2*Σ[k=1,n]cos(2*k*x) が成り立つのか！
実際に、
2Σ[k=1,n]cos(2kx)sin(x)＝Σ[k=1,n]（sin（2k＋1）x−sin（2k＋1）x)＝sin(2n+1)x−sin(x)
より明らか。この等式を用いると、[2]は、
∫[0,π]sin(2019*x)/sin(x)dx
＝∫[0,π]（1+2*Σ[k=1,1009]cos(2*k*x)）dx
＝π＋2*Σ[k=1,1009]［(1/2*k)sin(2*k*x)］0π
＝π （← この結果は、１２月２８日付けで、Ｓ（Ｈ）さんが示されていました！）
