な問題をいくつか紹介したい。
問題１ ８進法で４桁の自然数 ｍ＝ａｂｃｄ(8) がある。このとき、２ｍも８進法で４桁の自然
数で、数字の並びがｍと逆になるという。すなわち、２ｍ＝ｄｃｂａ(8) である。
このようなｍをすべて求めよ。
（解） 題意より、 ｍ＝ａ・８3＋ｂ・８2＋ｃ・８＋ｄ と書かれるので、
２ｍ＝２ａ・８3＋２ｂ・８2＋２ｃ・８＋２ｄ
＝ｄ・８3＋ｃ・８2＋ｂ・８＋ａ
２ｍは、８進法で４桁なので、 ａ＝１、２、３
また、 ２ｄ＝ａ または、 ２ｄ−８＝ａ で何れにしても ａは偶数なので、 ａ＝２
このとき、 ２ｄ＝２ または、 ２ｄ−８＝２ なので、 ｄ＝１ または ｄ＝５
ところで、 ｄ＝２ａ または ｄ＝２ａ＋１ なので、 ｄ＝１ は不適
よって、 ｄ＝５
また、 ２ｂー８＝ｃ または ２ｂ＋１−８＝ｃ
２ｃ＋１＝ｂ または ２ｃ＋１−８＝ｂ
まず、２ｂー８＝ｃ、２ｃ＋１＝ｂ のとき、 ４ｂ−１６＋１＝ｂ より、 ｂ＝５、ｃ＝２
２ｂー８＝ｃ、２ｃ＋１−８＝ｂ のとき、 ４ｂ−１６−７＝ｂ を満たす自然数解はなし
２ｂ＋１−８＝ｃ、２ｃ＋１＝ｂ のとき、 ４ｂ−１４＋１＝ｂ を満たす自然数解はなし
２ｂ＋１−８＝ｃ、２ｃ＋１−８＝ｂ のとき、 ４ｂ−１４−７＝ｂ より、 ｂ＝７、ｃ＝７
以上から、求める自然数は８進法で、 ２５２５(8) 、２７７５(8) の２つである。 （終）
問題２ ８進法で２桁の自然数 ｍ＝ａｂ(8) がある。このとき、２ｍも８進法で２桁の自然数
で、数字の並びがｍと逆になるという。すなわち、２ｍ＝ｂａ(8) である。
このとき、このようなｍをすべて求めよ。
（解） 題意より、 ｍ＝ａ・８＋ｂ と書かれるので、
２ｍ＝２ａ・８＋２ｂ＝ｂ・８＋ａ
２ｍは、８進法で２桁なので、 ａ＝１、２、３
また、 ２ｂ＝ａ または、 ２ｂ−８＝ａ で何れにしても ａは偶数なので、 ａ＝２
このとき、 ２ｂ＝２ または、 ２ｂ−８＝２ なので、 ｂ＝１ または ｂ＝５
ところで、 ｂ＝２ａ または ｂ＝２ａ＋１ なので、 ｂ＝１ は不適
よって、 ｂ＝５
以上から、求める自然数は８進法で、 ２５(8) のみである。 （終）
問題３ ８進法で３桁の自然数 ｍ＝ａｂｃ(8) がある。このとき、２ｍも８進法で３桁の自然数
で、数字の並びがｍと逆になるという。すなわち、２ｍ＝ｃｂａ(8) である。
このとき、このようなｍをすべて求めよ。
（解） 題意より、 ｍ＝ａ・８2＋ｂ・８＋ｃ と書かれるので、
２ｍ＝２ａ・８2＋２ｂ・８＋２ｃ＝ｃ・８2＋ｂ・８＋ａ
２ｍは、８進法で３桁なので、 ａ＝１、２、３
また、 ２ｃ＝ａ または、 ２ｃ−８＝ａ で何れにしても ａは偶数なので、 ａ＝２
このとき、 ２ｃ＝２ または、 ２ｃ−８＝２ なので、 ｃ＝１ または ｃ＝５
ところで、 ｃ＝２ａ または ｃ＝２ａ＋１ なので、 ｃ＝１ は不適
よって、 ｃ＝５
また、 ２ｂ＋１ー８＝ｂ より、 ｂ＝７
以上から、求める自然数は８進法で、 ２７５(8) のみである。 （終）
問題４ ８進法で５桁の自然数 ｍ＝ａｂｃｄｅ(8) がある。このとき、２ｍも８進法で５桁の自
然数で、数字の並びがｍと逆になるという。すなわち、２ｍ＝ｅｄｃｂａ(8) である。
このとき、このようなｍをすべて求めよ。
（解） 題意より、 ｍ＝ａ・８4＋ｂ・８3＋ｃ・８2＋ｄ・８＋ｅ と書かれるので、
２ｍ＝２ａ・８4＋２ｂ・８3＋２ｃ・８2＋２ｄ・８＋２ｅ
＝ｅ・８4＋ｄ・８3＋ｃ・８2＋ｂ・８＋ａ
２ｍは、８進法で５桁なので、 ａ＝１、２、３
また、 ２ｅ＝ａ または、 ２ｅ−８＝ａ で何れにしても ａは偶数なので、 ａ＝２
このとき、 ２ｅ＝２ または、 ２ｅ−８＝２ なので、 ｅ＝１ または ｅ＝５
ところで、 ｅ＝２ａ または ｅ＝２ａ＋１ なので、 ｅ＝１ は不適
よって、 ｅ＝５
また、 ２ｂー８＝ｄ または ２ｂ＋１−８＝ｄ
２ｄ＋１＝ｂ または ２ｄ＋１−８＝ｂ
２ｃ＝ｃ または ２ｃ−８＝ｃ または ２ｃ＋１−８＝ｃ
第３行より、 ｃ＝０ または ｃ＝８ または ｃ＝７
また、２ｂー８＝ｄ、２ｄ＋１＝ｂ のとき、 ４ｂ−１６＋１＝ｂ より、 ｂ＝５、ｄ＝２
このとき、 ２ｃ＝ｃ より、 ｃ＝０
２ｂー８＝ｄ、２ｄ＋１−８＝ｂ のとき、 ４ｂ−１６−７＝ｂ を満たす自然数解はなし
２ｂ＋１−８＝ｄ、２ｄ＋１＝ｂ のとき、 ４ｂ−１４＋１＝ｂ を満たす自然数解はなし
２ｂ＋１−８＝ｄ、２ｄ＋１−８＝ｂ のとき、 ４ｂ−１４−７＝ｂ より、 ｂ＝７、ｄ＝７
このとき、 ２ｃ＋１−８＝ｃ より、 ｃ＝７
以上から、求める自然数は８進法で、 ２５０２５(8) 、２７７７５(8) の２つである。 （終）
＃自信がなかったので、確かめてみました。
２５０２５(8)×２＝５２０５２(8) 、２７７７５(8)×２＝５７７７２(8)
次の問題は上記と同趣旨の問題と思われるが、解法は少し異なるようである。
問題５ ある自然数Ｎを５進法で表すと３桁の数ａｂｃ(5)となり、３倍して９進法で表すと３桁
の数ｃｂａ(9)となる。ａ、ｂ、ｃの値を求めよ。
（解） 題意より、 Ｎ＝ａ・５2＋ｂ・５＋ｃ と表されるので、 ３Ｎ＝７５ａ＋１５ｂ＋３ｃ
ところで、 ３Ｎ＝ｃ・９2＋ｂ・９＋ａ＝８１ｃ＋９ｂ＋ａ なので、
７５ａ＋１５ｂ＋３ｃ＝８１ｃ＋９ｂ＋ａ すなわち、７４ａ＋６ｂ＝７８ｃ より、 ３７ａ＋３ｂ＝３９ｃ
ａ＝１、２、３、４ で、ａは３の倍数なので、 ａ＝３
よって、 ３７＋ｂ＝１３ｃ
ｂ＝０、１、２、３、４ で、３７＋ｂが１３の倍数となるのは、 ｂ＝２
よって、 ｃ＝３ （終）
問題６ １を１つ、２を２つ、・・・、９を９つ用いて１０進表記される自然数は、平方数でないこ
とを示せ。
（解） １を１つ、２を２つ、・・・、９を９つ用いて１０進表記される自然数をＮとすると、
Ｎ≡１2＋２2＋３2＋４2＋５2＋６2＋７2＋８2＋９2＝９・１０・１９/６＝２８５≡６ （ｍｏｄ ９）
Ｎが平方数になると仮定すると、Ｎを９で割った余りは、０、１、４、７ の何れか。
これは矛盾。
よって、Ｎは平方数でない。 （終）
問題７ １を２つ、２を２つ、３を２つ、４を２つ用いて１０進表記される自然数は、平方数でな
いことを示せ。
（解） １を２つ、２を２つ、３を２つ、４を２つ用いて１０進表記される自然数をＮとすると、
Ｎ≡１×２＋２×２＋３×２＋４×２＝２０≡２ （ｍｏｄ ９）
Ｎが平方数になると仮定すると、Ｎを９で割った余りは、０、１、４、７ の何れか。
これは矛盾。
よって、Ｎは平方数でない。 （終）
問題８ ５進法で書かれた数ｘが偶数か奇数かは、各位の数の和から判断できることを示せ。
（解） ５進法で書かれた数 ｘ＝ａｎａｎ-1・・・ａ1ａ0(5) は、１０進法で表すと、
ｘ＝ａｎ・５ｎ＋ａｎ-1・５ｎ-1＋・・・＋ａ1・５＋ａ0
これを、２を法とする合同式で考えると、ｎを自然数として、 ５≡１ から、５ｎ≡１
よって、 ｘ≡ａｎ＋ａｎ-1＋・・・＋ａ1＋ａ0 （ｍｏｄ ２） より、ｘ の偶奇は、各位の数の
和から判断できる。 （終）
問題９ ２０１８！を１０進法で表すと、後ろの方の桁に０がいくつか並ぶ。１の位から見てい
き、最初に現れる０でない数は偶数であることを示せ。
（解） ２０１８！に含まれる５の個数は、
２０１８÷５＝４０３・・・３
４０３÷５＝８０・・・３
８０÷５＝１６
１６÷５＝３・・・１
より、全部で ４０３＋８０＋１６＋３＝５０２（個）ある。
２の個数はもっと多いので、２０１８！を１０進法で表すと、後ろの方の桁に０が５０２（個）
並ぶ。
ところで、２０１８！に含まれる２の個数は、
２０１８÷２＝１００９
１００９÷２＝５０４・・・１
５０４÷２＝２５２
２５２÷２＝１２６
１２６÷２＝６３
６３÷２＝３１・・・１
３１÷２＝１５・・・１
１５÷２＝７・・・１
７÷２＝３・・・１
３÷２＝１・・・１
より、全部で２０１１個ある。１０を作るために５０２個使っても、まだ１５０９個も２が残るので、
１の位から見ていき、最初に現れる０でない数は偶数であることが分かる。 （終）
問題１０ １、２、３、４、５、６ を並べ替えて６桁の整数を作る。作った６桁の整数の上２桁は
２の倍数、上３桁は３の倍数、上４桁は４の倍数、上５桁は５の倍数、上６桁は６の倍
数になるようにするには、６個の数字をどう並べればよいか。
（出典：聖光学院中学入試問題）
（解） ６桁の整数を、（ア）（イ）（ウ）（エ）（オ）（カ） とする。
まず、（ア）（イ）（ウ）（エ）（５）（カ） であることは明らか。
次に、（イ）、（エ）、（カ）は偶数 ２、４、６ の何れかが入るので、（ア）、（ウ）には、１また
は３の何れかが入る。
（１）（イ）（３）（エ）（５）（カ） の場合
まず、（１）（イ）（３）（２）（５）（カ） とすると、（イ）は、４または６だが、何れも３の倍数になら
ない。
（１）（２）（３）（６）（５）（４） ・・・ 適する
（３）（イ）（１）（エ）（５）（カ） の場合
まず、（３）（イ）（１）（２）（５）（カ） とすると、（イ）は、４または６だが、何れも３の倍数になら
ない。
（３）（２）（１）（６）（５）（４） ・・・ 適する
以上から、 １２３６５４ または ３２１６５４ （終）
問題１１ 数学セミナー ’１８ １２月号（日本評論社）の「エレガントな解答をもとむ」の９月
号出題の問題の解答で、次の事実が証明されている。
任意の自然数ｎに対して、ｎの倍数で、各位の数の和がちょうどｎである十進法の
数が存在する
例 ｎ＝１〜９ は自明
ｎ＝１０ のときは、すぐ思いつくのは、１１１１１１１１１１０ かな．．．。でも、「１９０」とした
方が桁数も少ないし、数としても最小っぽい。
ｎ＝１１ のときは、２０９＝１１×１９ が最小解である。
ｎ＝１２ のときは、４８＝１２×４ が最小解である。
そこで、問題です。ｎ＝１３のとき、そのような数の最小値を求めて下さい。
（解） ２４７ （終）
（コメント） オンライン整数列辞典の「A002998」で既に解が調べられていますね！
ｎ＝１４ のときは、２６６
ｎ＝１５ のときは、１９５
ｎ＝１６ のときは、４４８
ｎ＝１７ のときは、４７６
ｎ＝１８ のときは、１９８
ｎ＝１９ のときは、８７４
ｎ＝２０ のときは、３９８０
・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・
問題１２ 連続する２つの自然数の積で、１が連続して３つ並ぶものを見つけよ。
（解） ３１×３６＝１１１６ もそうだが、 ３×３７＝１１１ の方が有名かも！
問題１３ 連続する３つの自然数の積で、１が連続して４つ並ぶものを見つけよ。
（解） １０３５×１０３６×１０３７＝１１１１９３３６２０
類題として、「１が９９個以上並ぶものを見つけよ。」が、東京大学 理系（２０１３年）で出題
されている。
東京大学 理系（２０１３年）
次の命題Ｐを証明したい。
命題Ｐ 次の条件(ａ)、(ｂ)をともに満たす自然数（１以上の整数）Ａが存在する。
(ａ) Ａは連続する３つの自然数の積である。
(ｂ) Ａを10進法で表したとき、１が連続して９９回以上現れるところがある。
以下の問いに答えよ。
（１） ｙを自然数とする。このとき、不等式
ｘ3＋３ｙｘ2＜（ｘ＋ｙ−１）（ｘ＋ｙ）（ｘ＋ｙ＋１）＜ｘ3＋（３ｙ＋１）ｘ2
が成り立つような正の実数ｘの範囲を求めよ。
（２） 命題Ｐを証明せよ。
（解）（１） Ａ＝（ｘ＋ｙ−１）（ｘ＋ｙ）（ｘ＋ｙ＋１）＝（ｘ＋ｙ）3−ｘ−ｙ
＝ｘ3＋３ｙｘ2＋３ｘｙ2＋ｙ3−ｘ−ｙ
Ｂ＝ｘ3＋３ｙｘ2
Ｃ＝ｘ3＋（３ｙ＋１）ｘ2 とおく。
まず、Ａ−Ｂ＝３ｘｙ2＋ｙ3−ｘ−ｙ＝（３ｙ2−１）ｘ＋ｙ（ｙ−１）（ｙ2＋ｙ＋１）＞０
題意より、 ｙ≧１ なので、 ３ｙ2−１≧２＞０ 、 ｙ（ｙ−１）（ｙ2＋ｙ＋１）≧０
よって、正の実数ｘについて、Ａ−Ｂ＞０は常に成り立つ。
次に、Ｃ−Ａ＝ｘ2−３ｘｙ2−ｙ3＋ｘ＋ｙ＝ｘ2−（３ｙ2−１）ｘ−ｙ（ｙ−１）（ｙ2＋ｙ＋１）＞０
ｘ＝０ のとき、−ｙ（ｙ−１）（ｙ2＋ｙ＋１）≦０ なので、ｘの２次方程式
ｘ2−（３ｙ2−１）ｘ−ｙ（ｙ−１）（ｙ2＋ｙ＋１）＝０ は、α≦０≦βなる２実数解α、βを持つ。
α＋β＝３ｙ2−１≧２＞０ なので、α≦０＜βなる２実数解α、βを持つ。
よって、Ｃ−Ａ＞０ の解は、ｘ＞０に注意して、 ｘ＞β となる。
すなわち、 ｘ＞［３ｙ2−１＋√｛（３ｙ2−１）2＋４ｙ（ｙ−１）（ｙ2＋ｙ＋１）｝］/２
（２） ａ＝１・・・99個・・・１ とおくと、
ａ＝１１１０・・・96個・・・０＋１１１０・・・93個・・・０＋・・・・＋１１１０００＋１１１
＝１１１×（１０・・・96個・・・０＋１０・・・93個・・・０＋・・・＋１０００＋１）
＝３×３７×（１０・・・96個・・・０＋１０・・・93個・・・０＋・・・＋１０００＋１）
なので、ａは３の倍数で、 ａ＝３ｙ （ｙは自然数） と書ける。
すなわち、 ３ｙ＝１・・・99個・・・１ である。
このとき、 ３ｙ＜１０99 より、 ｙ＜１０99 なので、ｘ＝１０200 とすれば、
（３ｙ2−１）ｘ＋ｙ3−ｙ＜３ｙ2ｘ＋ｙ3＝ｙ2（３ｘ＋ｙ）＜１０198（３・ｘ＋１０99）＜１０400＝ｘ2
を満たす。
よって、 命題Ｐの条件(ａ)、(ｂ)をともに満たす自然数（１以上の整数）Ａは、
ｘ＝１０200 、３ｙ＝１・・・99個・・・１ とおくとき、
連続する３つの自然数の積（ｘ＋ｙ−１）（ｘ＋ｙ）（ｘ＋ｙ＋１）として、
Ｂ＝ｘ3＋３ｙｘ2＝１０600＋１・・・99個・・・１×１０400
＝１０・・・101個・・・０１・・・99個・・・１０・・・400個・・・０
Ｃ＝ｘ3＋（３ｙ＋１）ｘ2＝１０・・・101個・・・０１・・・98個・・・１2０・・・400個・・・０
より、 Ａ＝１０・・・101個・・・０１・・・99個・・・１*・・・400個・・・* （*は、0〜9の数字） と書
けて、確かに存在する。 （終）
（コメント） 上記の問題を活用して、「連続する３つの自然数の積で、１が連続して３つ並ぶ
もの」を構成してみよう。
ａ＝１１１ とおくと、 ａ＝３×３７ で、ａは３の倍数で、 ａ＝３ｙ （ｙ＝３７） と書ける。
すなわち、 ３ｙ＝１１１ である。
このとき、 ３ｙ＜１０4 、 ｙ＜１０2 なので、ｘ＝１０5 とすれば、
（３ｙ2−１）ｘ＋ｙ3−ｙ＜３ｙ2ｘ＋ｙ3＝ｙ2（３ｘ＋ｙ）＜１０4（３・ｘ＋１０2）＜１０10＝ｘ2
を満たす。
よって、 ｘ＝１０5 、ｙ＝３７ とおくとき、連続する３つの自然数の積は、
（ｘ＋ｙ−１）（ｘ＋ｙ）（ｘ＋ｙ＋１）
＝１０００３６・１０００３７・１０００３８＝１００１１１０４１０６５０６２０
となる。
問題 ３９９９９９１は素数でないことを示せ。
（解） ３９９９９９１＝４００００００−９＝２０００2−３2＝２００３・１９９７ と因数分解されるの
で素数でない。 （終）
（類題） ９９９１は素数でないことを示せ。
（解） ９９９１＝１００００−９＝１００2−３2＝１０３・９７ と因数分解されるので素数でない。
（終）
（追記） 平成３１年１月１１日付け
問題 △ＡＢＣにおいて、tanＡ、tanＢ、tanＣ が何れも整数になるとき、その値を求めよ。
（出典：一橋大学（1984））
（解） Ａ＋Ｂ＋Ｃ＝１８０°なので、少なくとも一つは６０°以下である。その角をＡとする。
このとき、 ０＜ｔａｎＡ≦
で、ｔａｎＡ が整数より、 ｔａｎＡ＝１ｔａｎＡ＝ｔａｎ（１８０°−Ｂ−Ｃ）＝−ｔａｎ（Ｂ＋Ｃ）＝−（ｔａｎＢ＋ｔａｎＣ）/（１−ｔａｎＢ・ｔａｎＣ）＝１
より、 ｔａｎＢ・ｔａｎＣ−ｔａｎＢ−ｔａｎＣ＝１ すなわち、
（ｔａｎＢ−１）（ｔａｎＣ−１）＝２
tanＢ、tanＣ は整数なので、取り得る値は、 ２ または ３
以上から、tanＡ、tanＢ、tanＣ の取り得る値は、 １、２、３
（コメント） tanＡ＝１、tanＢ＝２、tanＣ＝３ となる三角形を実際に作図したいのだが、結構
難しい。
当ＨＰがいつもお世話になっているＨＮ「ＰＢ」さんからのコメントです。
（平成３１年１月１１日付け）
上記の三角形を作図してみました。
上図のように、ＰＱ＝ＱＲ＝ＲＳ＝１、ＴＳ＝３、ＰＱ⊥ＱＳ、ＱＳ⊥ＳＴ とすれば、３つの角は
ｔａｎＡ＝１、ｔａｎＢ＝２、ｔａｎＣ＝３ を満たします。
（ＰからＴＳに垂線Ｐ’を引けば、ＰＰ’＝ＴＰ’＝２ なので、ＴＰ＝２√２、ＰＲ＝√２、ＴＲ＝√１０
から、ＴＰ⊥ＰＲで、ｔａｎＢ＝２ となる）
よって、ＰＲ//ＴＵ としたときの △ＴＲＵ すなわち、ａ＝√１０、ｂ＝４、ｃ＝３√２ である
三角形が条件を満たします。
（コメント） なるほど！綺麗に作図できるんですね。ＰＢさんに感謝します。
