卒業式で椅子を綺麗に並べる事を考えてみる。演台を中心に左右対称で、全体として進
入路を含め長方形の形にする。椅子は、横方向には連続して４から６列までとし、縦方向に
は２列以上は必ず並んでいるものとする。

＜卒業生が３６人の時＞

type１：横４縦９

type２：横６縦６

type３：横６空白１横６縦３

type４：横４空白１横４空白１横４縦３

type５：横６空白１横６空白１横６縦２

type６：横４空白１横５空白１横５空白１横４縦２

type７：横５空白１横４空白１横４空白１横５縦２

　以上の７通りの構成が考えられる。（空白は進入路）

　では、卒業生が１００人の場合の椅子の並べ方は何通りあるか？


　らすかるさんからのコメントです。（平成３０年８月２２日付け）

(4)×25　、(5)×20　、(5+5)×10　　3通り

(6+4+4+6)×5　、(5+5+5+5)×5　、(4+6+6+4)×5　、(4+4+4+4+4)×5　　4通り

(6+4+5+4+6)×4　、(5+5+5+5+5)×4　、(4+6+5+6+4)×4　　3通り

([6+6+6+4]+6+[4+6+6+6])×2　並べ替え　₄C₁通り・・・6664で4の位置を選択
([6+6+5+5]+6+[5+5+6+6])×2　並べ替え　₄C₂通り・・・6655で55の位置を選択
([6+4+4+4+4]+6+[4+4+4+4+6])×2　並べ替え　₅C₁通り・・・64444で6の位置を選択
([5+5+4+4+4]+6+[4+4+4+5+5])×2　並べ替え　₅C₂通り・・・55444で55の位置を選択

([6+6+6+5]+4+[5+6+6+6])×2　並べ替え　₄C₁通り・・・6665で5の位置を選択
([6+5+4+4+4]+4+[4+4+4+5+6])×2　並べ替え　₅P₂通り・・・65444で65の位置を選択
([5+5+5+4+4]+4+[4+4+5+5+5])×2　並べ替え　₅C₂通り・・・55544で55の位置を選択

([6+6+5+4+4]+[4+4+5+6+6])×2　並べ替え　5×₄C₂通り・・・6644を並べ端・間に5を入れる
([6+5+5+5+4]+[4+5+5+5+6])×2　並べ替え　₅P₂通り・・・64555で64の位置を選択
([5+5+5+5+5]+[5+5+5+5+5])×2　　1通り
([5+4+4+4+4+4]+[4+4+4+4+4+5])×2　並べ替え　₆C₁通り・・・544444で5の位置を選択

　全部で、3+4+3+₄C₁+₄C₂+₅C₁+₅C₂+₄C₁+₅P₂+₅C₂+5×₄C₂+₅P₂+1+₆C₁=126通りで合ってますか？


　ＧＡＩ さんからのコメントです。（平成３０年８月２２日付け）

　バッチリ正解です。式で求められることにびっくりします。


　ａｔ さんからのコメントです。（平成３０年８月２３日付け）

　卒業生が n 人の場合、条件を満たすような椅子の並べ方の総数を a(n) とすると、

　　a(n)=Σ[4≦d＜n,d|n] ([x^d]((1+x^4+x^5+x^6)/(1-(x^8+x^10+x^12)))).

＜PARI での計算結果＞

(20:10) gp > v=Vec((1+x^4+x^5+x^6)/(1-(x^8+x^10+x^12))+O(x^10000));
(20:10) gp > a(n)=sum(d=4,floor(n/2),(n%d==0)*v[d+1])
%2 = (n)->sum(d=4,floor(n/2),(n%d==0)*v[d+1])

(20:10) gp > a(100)
%3 = 126

(20:10) gp > a(500)
%4 = 567867384804

(20:10) gp > a(1000)
%5 = 727030483998079579943814

(20:11) gp > a(5000)
%6 = 52480656350549809951447067351840748254592439530735591055325061337015306
　　　34342659283652154838619810734749018639004247917165