・夏休み課題                          GAI 氏

 夏休みに出た宿題の処理方法について考えてみる。

 今、100ページの課題帳があり、これを40日間の夏休み期間で処理することを要求されて
いるとする。ところで人間、最初の意気込みはだんだんと薄れていき、処理する意欲が低下
することが常で、前日処理できたページ数よりは次の日は少なくなっていくものする。

 そこで、この課題帳をちょうど1週間で仕上げる方法は何通りあるか?また、夏休み期間
を通しては何通りになるか?ただし課題には毎日取り組むものとする。

(具体例)
<1日で仕上げる> 100(ページ)
< 2日で仕上げる> 51,49 、52,48 、・・・ 、99,1
< 3日で仕上げる> 35,33,32 、35,34,31 、・・・ 、97,2,1
 e.t.c.


 らすかるさんからのコメントです。(平成30年8月17日付け)

 ちょうど1週間で仕上げる方法は、「A008636」のn=72の場合で、108869通り
(先頭の項が28を昇順の7自然数に分ける場合の数なので、100-28=72)

 夏休み期間を通して条件を満たすためには、最低 40×41÷2=820ページ必要だが、100
ページしかないので不可能。従って、0通り。


 GAI さんからのコメントです。(平成30年8月17日付け)

 ちょうど1週間で仕上げる方法が、そんな考え方でも求まるのか!

 「夏休み期間を通して」について、その解釈をされましたか。舌足らずでした。期間内で課
題を終わらせる総パターン数(1日で終わらせる数+2日で終わらせる数+・・・+)を求めて
もらおうと思って出した問いでした。もちろん39や40日で終わらせるパターンはありません
が・・・。


 らすかるさんからのコメントです。(平成30年8月18日付け)

 解釈は何通りか考えましたが、「夏休み期間内のどこかで課題を終わらせる」と考えると、
「夏休みのn日目から初めてm日で終わらせるパターン」なども考えられて複雑になり、何を
想定されているのかわかりませんので、最も単純な解釈で回答しました。
(最後の1週間でやる人とかたぶん多いですよね)

 もし、「必ず夏休みの1日目から開始し、終了するまで休みの日はなく、かつ前日より少な
いページ数とする」と考えるのであれば、

1日: 1通り
2日: 49通り
3日: 784通り
4日: 5952通り
5日: 25337通り
6日: 65827通り
7日: 108869通り
8日: 116263通り
9日: 79403通り
10日: 33401通り
11日: 7972通り
12日: 905通り
13日: 30通り

なので、合計で444793通りになりますね。

# OEISの「A000009」では、100番目が444793になっている。


 GAI さんからのコメントです。(平成30年8月18日付け)

 一般に、自然数nを異なる数字の和で構成する方法が、eta(q)関数を用いて、

(eta(q)=Π[k=1,∞](1-q^k)
= 1 - q - q^2 + q^5 + q^7 - q^12 - q^15 + q^22 + q^26 - q^35 - q^40
                     + q^51 + q^57 - q^70 - q^77 + q^92 + q^100 + O(q^101))

 eta(q^2)/eta(q)での展開式のq^nの係数で与えられることは驚きですね。
(しかも結果が一瞬で出る。)

gp > eta(q^2)/eta(q)
%31 = 1 + q + q^2 + 2*q^3 + 2*q^4 + 3*q^5 + 4*q^6 + 5*q^7 + 6*q^8 + 8*q^9 + 10*q^10 +
    12*q^11 + 15*q^12 + 18*q^13 + 22*q^14 + 27*q^15 + 32*q^16 + 38*q^17 + 46*q^18
    + 54*q^19 + 64*q^20 + 76*q^21 + 89*q^22 + 104*q^23 + 122*q^24 + 142*q^25 +
    165*q^26 + 192*q^27 + 222*q^28 + 256*q^29 + 296*q^30 + 340*q^31 + 390*q^32 +
    448*q^33 + 512*q^34 + 585*q^35 + 668*q^36 + 760*q^37 + 864*q^38 + 982*q^39 +
    1113*q^40 + 1260*q^41 + 1426*q^42 + 1610*q^43 + 1816*q^44 + 2048*q^45 +
    2304*q^46 + 2590*q^47 + 2910*q^48 + 3264*q^49 + 3658*q^50 + 4097*q^51 +
    4582*q^52 + 5120*q^53 + 5718*q^54 + 6378*q^55 + 7108*q^56 + 7917*q^57 +
    8808*q^58 + 9792*q^59 + 10880*q^60 + 12076*q^61 + 13394*q^62 + 14848*q^63 +
    16444*q^64 + 18200*q^65 + 20132*q^66 + 22250*q^67 + 24576*q^68 + 27130*q^69
    + 29927*q^70 + 32992*q^71 + 36352*q^72 + 40026*q^73 + 44046*q^74 + 48446*q^75
    + 53250*q^76 + 58499*q^77 + 64234*q^78 + 70488*q^79 + 77312*q^80 + 84756*q^81
    + 92864*q^82 + 101698*q^83 + 111322*q^84 + 121792*q^85 + 133184*q^86 +
    145578*q^87 + 159046*q^88 + 173682*q^89 + 189586*q^90 + 206848*q^91 +
    225585*q^92 + 245920*q^93 + 267968*q^94 + 291874*q^95 + 317788*q^96 +
    345856*q^97 + 376256*q^98 + 409174*q^99 + 444793*q^100 + O(q^101)

 更に、nが異なるk個で表せるかは、下の漸化式(二項係数に類似のもの)

  Q(n, k) = Q(n-k, k) + Q(n-k, k-1) for n>k>=1, with Q(1, 1)=1, Q(n, 0)=0 (n>=1)

を頼りに算出すると、n=90〜100での計算結果が下表

n\k 1, 2,  3,   4,    5,    6,     7,     8,    9,   10,  11, 12, 13,
90: 1,44,631,4263,16019,36308, 51508, 46031,25331, 8070,1303, 77,
91: 1,45,645,4410,16814,38677, 55748, 50774,28629, 9418,1586,100,  1,
92: 1,45,660,4571,17633,41134, 60289, 55974,32278,10936,1930,133,  1,
93: 1,46,675,4725,18487,43752, 65117, 61575,36347,12690,2331,172,  2,
94: 1,46,690,4894,19366,46461, 70281, 67696,40831,14663,2812,224,  3,
95: 1,47,705,5055,20282,49342, 75762, 74280,45812,16928,3370,285,  5,
96: 1,47,721,5231,21224,52327, 81612, 81457,51294,19466,4035,366,  7,
97: 1,48,736,5400,22204,55491, 87816, 89162,57358,22367,4802,460, 11,
98: 1,48,752,5584,23212,58767, 94425, 97539,64015,25608,5708,582, 15,
99: 1,49,768,5760,24260,62239,101423,106522,71362,29292,6751,725, 22,
100:1,49,784,5952,25337,65827,108869,116263,79403,33401,7972,905, 30,


 当然 n=100での

V=[1, 49, 784, 5952, 25337, 65827, 108869, 116263, 79403, 33401, 7972, 905, 30]

の各成分和は、vecsum(V)=444793 となりました。



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