今、100ページの課題帳があり、これを40日間の夏休み期間で処理することを要求されて
いるとする。ところで人間、最初の意気込みはだんだんと薄れていき、処理する意欲が低下
することが常で、前日処理できたページ数よりは次の日は少なくなっていくものする。
そこで、この課題帳をちょうど１週間で仕上げる方法は何通りあるか？また、夏休み期間
を通しては何通りになるか？ただし課題には毎日取り組むものとする。
（具体例）
<1日で仕上げる> 100（ページ)
< 2日で仕上げる> 51,49 、52,48 、･･･ 、99,1
< 3日で仕上げる> 35,33,32 、35,34,31 、･･･ 、97,2,1
e.t.c.
らすかるさんからのコメントです。（平成３０年８月１７日付け）
ちょうど１週間で仕上げる方法は、「A008636」のn=72の場合で、108869通り
(先頭の項が28を昇順の7自然数に分ける場合の数なので、100-28=72)
夏休み期間を通して条件を満たすためには、最低 40×41÷2=820ページ必要だが、100
ページしかないので不可能。従って、0通り。
ＧＡＩ さんからのコメントです。（平成３０年８月１７日付け）
ちょうど１週間で仕上げる方法が、そんな考え方でも求まるのか！
「夏休み期間を通して」について、その解釈をされましたか。舌足らずでした。期間内で課
題を終わらせる総パターン数（1日で終わらせる数＋2日で終わらせる数＋･･･＋）を求めて
もらおうと思って出した問いでした。もちろん39や40日で終わらせるパターンはありません
が･･･。
らすかるさんからのコメントです。（平成３０年８月１８日付け）
解釈は何通りか考えましたが、「夏休み期間内のどこかで課題を終わらせる」と考えると、
「夏休みのn日目から初めてm日で終わらせるパターン」なども考えられて複雑になり、何を
想定されているのかわかりませんので、最も単純な解釈で回答しました。
（最後の1週間でやる人とかたぶん多いですよね）
もし、「必ず夏休みの1日目から開始し、終了するまで休みの日はなく、かつ前日より少な
いページ数とする」と考えるのであれば、
1日： 1通り
2日： 49通り
3日： 784通り
4日： 5952通り
5日： 25337通り
6日： 65827通り
7日： 108869通り
8日： 116263通り
9日： 79403通り
10日： 33401通り
11日： 7972通り
12日： 905通り
13日： 30通り
なので、合計で444793通りになりますね。
# OEISの「A000009」では、100番目が444793になっている。
ＧＡＩ さんからのコメントです。（平成３０年８月１８日付け）
一般に、自然数ｎを異なる数字の和で構成する方法が、eta(q)関数を用いて、
（eta(q)=Π[k=1,∞](1-q^k)
= 1 - q - q^2 + q^5 + q^7 - q^12 - q^15 + q^22 + q^26 - q^35 - q^40
+ q^51 + q^57 - q^70 - q^77 + q^92 + q^100 + O(q^101)）
eta(q^2)/eta(q)での展開式のq^nの係数で与えられることは驚きですね。
（しかも結果が一瞬で出る。）
gp > eta(q^2)/eta(q)
%31 = 1 + q + q^2 + 2*q^3 + 2*q^4 + 3*q^5 + 4*q^6 + 5*q^7 + 6*q^8 + 8*q^9 + 10*q^10 +
12*q^11 + 15*q^12 + 18*q^13 + 22*q^14 + 27*q^15 + 32*q^16 + 38*q^17 + 46*q^18
+ 54*q^19 + 64*q^20 + 76*q^21 + 89*q^22 + 104*q^23 + 122*q^24 + 142*q^25 +
165*q^26 + 192*q^27 + 222*q^28 + 256*q^29 + 296*q^30 + 340*q^31 + 390*q^32 +
448*q^33 + 512*q^34 + 585*q^35 + 668*q^36 + 760*q^37 + 864*q^38 + 982*q^39 +
1113*q^40 + 1260*q^41 + 1426*q^42 + 1610*q^43 + 1816*q^44 + 2048*q^45 +
2304*q^46 + 2590*q^47 + 2910*q^48 + 3264*q^49 + 3658*q^50 + 4097*q^51 +
4582*q^52 + 5120*q^53 + 5718*q^54 + 6378*q^55 + 7108*q^56 + 7917*q^57 +
8808*q^58 + 9792*q^59 + 10880*q^60 + 12076*q^61 + 13394*q^62 + 14848*q^63 +
16444*q^64 + 18200*q^65 + 20132*q^66 + 22250*q^67 + 24576*q^68 + 27130*q^69
+ 29927*q^70 + 32992*q^71 + 36352*q^72 + 40026*q^73 + 44046*q^74 + 48446*q^75
+ 53250*q^76 + 58499*q^77 + 64234*q^78 + 70488*q^79 + 77312*q^80 + 84756*q^81
+ 92864*q^82 + 101698*q^83 + 111322*q^84 + 121792*q^85 + 133184*q^86 +
145578*q^87 + 159046*q^88 + 173682*q^89 + 189586*q^90 + 206848*q^91 +
225585*q^92 + 245920*q^93 + 267968*q^94 + 291874*q^95 + 317788*q^96 +
345856*q^97 + 376256*q^98 + 409174*q^99 + 444793*q^100 + O(q^101)
更に、ｎが異なるｋ個で表せるかは、下の漸化式（二項係数に類似のもの）
Q(n, k) = Q(n-k, k) + Q(n-k, k-1) for n>k>=1, with Q(1, 1)=1, Q(n, 0)=0 (n>=1)
を頼りに算出すると、n=90〜100での計算結果が下表
n\k 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13,
90: 1,44,631,4263,16019,36308, 51508, 46031,25331, 8070,1303, 77,
91: 1,45,645,4410,16814,38677, 55748, 50774,28629, 9418,1586,100, 1,
92: 1,45,660,4571,17633,41134, 60289, 55974,32278,10936,1930,133, 1,
93: 1,46,675,4725,18487,43752, 65117, 61575,36347,12690,2331,172, 2,
94: 1,46,690,4894,19366,46461, 70281, 67696,40831,14663,2812,224, 3,
95: 1,47,705,5055,20282,49342, 75762, 74280,45812,16928,3370,285, 5,
96: 1,47,721,5231,21224,52327, 81612, 81457,51294,19466,4035,366, 7,
97: 1,48,736,5400,22204,55491, 87816, 89162,57358,22367,4802,460, 11,
98: 1,48,752,5584,23212,58767, 94425, 97539,64015,25608,5708,582, 15,
99: 1,49,768,5760,24260,62239,101423,106522,71362,29292,6751,725, 22,
100:1,49,784,5952,25337,65827,108869,116263,79403,33401,7972,905, 30,
当然 n=100での
V=[1, 49, 784, 5952, 25337, 65827, 108869, 116263, 79403, 33401, 7972, 905, 30]
の各成分和は、vecsum(V)=444793 となりました。
