・5項間漸化式                         GAI 氏

 昔、2、3項間での漸化式を解いたことがある人は、是非、次の漸化式にも挑戦してみて
下さい。

 数列 {a(n)} が5項間の漸化式: a(n+4)=−2a(n+3)+3a(n+2)+4a(n+1)−4a(n)

ただし、a(0)=1、a(1)=-1、a(2)=1、a(3)=-1 で生み出されてくるという。

 この時の数列での第n項 a(n) を式で表現して下さい。


 S(H)さんからのコメントです。(平成30年7月22日付け)

 a(n)=(1/27)(7+5・(-1)n・22 + n−6n−3・(-1)n・21 + n・n) で、

 1, -1, 1, -1, -3, 11, -39, 103, -267, 643, -1519, 3487, -7891,17595, -38839, 84951,
-184475, 398067, -854399, 1825295,....

なる数列である。


(コメント) 面白そうなので、解いてみた。

 まず、 a(n+4)−a(n+3)+3(a(n+3)−a(n+2))−4(a(n+1)−a(n))=0 と組み合わせて、

 b(n)=a(n+1)−a(n) とおくと、 b(n+3)+3b(n+2)−4b(n)=0

  ここで、 b(0)=−2、b(1)=2、b(2)=−2

 さらに、 b(n+3)+2b(n+2)+b(n+2)+2b(n+1)−2(b(n+1)+2b(n))=0 から、

 c(n)=b(n+1)+2b(n) とおくと、 c(n+2)+c(n+1)−2c(n)=0

  ここで、 c(0)=−2、c(1)=2

 これは、3項間漸化式で、よく知られた解法で一般項を求めると、

  c(n)=−(1/3)(2+(−2)n+2) 、b(n)=(2/9)((3n−8)(−2)n−1)

 あとは、階差数列の公式を用いれば、a(n)が求められる。

 n≧1のとき、

 a(n)=a(0)+(2/9)(Σk=0〜n-1{(3k−8)(−2)−1}

   =1+(2/9)Σk=0〜n-1(3k−8)(−2)−(2/9)n

 ここで、 S=Σk=0〜n-1(3k−8)(−2) とおくと、

 −2S=Σk=0〜n-1(3k−8)(−2)k+1 なので、辺々引いて、

 3S=−8+3{(−2)1+(−2)2+・・・+(−2)n-1}−(3n−11)(−2)

    =−8+(−2)1(1−(−2)n-1}−(3n−11)(−2)

    =−10−(−2)−(3n−11)(−2)

    =−10−(3n−10)(−2)

なので、 S={−10−(3n−10)(−2)}/3

 これを上式に代入して、

 a(n)=1+(2/9){−10−(3n−10)(−2)}/3−(2/9)n

   =(1/27){7+(3n−10)(−2)n+1−6n}

 これは、n=0のときも成り立つ。

 よって、0以上の整数nに対して、数列の第n項 a(n) は、

  a(n)=(1/27){7+(3n−10)(−2)n+1−6n}


#5項間漸化式を解くのは多分生涯初めて...カナ?何とか、5項間から4項間へ、そして
 4項間から3項間へ導くことが出来たので運良く解くことが出来ました。一般の5項間漸化
 式だと解ける気がしないですね!多分解けたのは、GAI さんの親心でしょうか...。

  最後の結果は、S(H)さんの結果と一致しているので安心しました。



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