昔、２、３項間での漸化式を解いたことがある人は、是非、次の漸化式にも挑戦してみて
下さい。

　数列 {a(n)} が５項間の漸化式：　a(n+4)＝−２a(n+3)＋３a(n+2)＋４a(n+1)−４a(n)

ただし、a(0)=1、a(1)=-1、a(2)=1、a(3)=-1　で生み出されてくるという。

　この時の数列での第ｎ項 ａ(ｎ) を式で表現して下さい。


　Ｓ（Ｈ）さんからのコメントです。（平成３０年７月２２日付け）

　a(n)＝(１/２７)(７＋５・(-1)ⁿ・２^{2 + n}−６ｎ−３・(-1)ⁿ・２^{1 + n}・ｎ)　で、

　1, -1, 1, -1, -3, 11, -39, 103, -267, 643, -1519, 3487, -7891,17595, -38839, 84951,
-184475, 398067, -854399, 1825295,....

なる数列である。


（コメント）　面白そうなので、解いてみた。

　まず、　a(n+4)−a(n+3)＋３（a(n+3)−a(n+2)）−４（a(n+1)−a(n)）＝０　と組み合わせて、

　ｂ(n)＝a(n+1)−a(n)　とおくと、　ｂ(n+3)＋３ｂ(n+2)−４ｂ(n)＝０

　　ここで、　ｂ(0)＝−２、ｂ(1)＝２、ｂ(2)＝−２

　さらに、　ｂ(n+3)＋２ｂ(n+2)＋ｂ(n+2)＋２ｂ(n+1)−２（ｂ(n+1)＋２ｂ(n)）＝０　から、

　ｃ(n)＝ｂ(n+1)＋２ｂ(n)　とおくと、　ｃ(n+2)＋ｃ(n+1)−２ｃ(n)＝０

　　ここで、　ｃ(0)＝−２、ｃ(1)＝２

　これは、３項間漸化式で、よく知られた解法で一般項を求めると、

　　ｃ(n)＝−（１/３）（２＋（−２）ⁿ⁺²）　、ｂ(n)＝（２/９）（（３ｎ−８）（−２）ⁿ−１）

　あとは、階差数列の公式を用いれば、a(n)が求められる。

　ｎ≧１のとき、

　a(n)＝a(0)＋（２/９）（Σ_{ｋ＝0〜ｎ-1}｛（３ｋ−８）（−２）^ｋ−１｝

　　　＝１＋（２/９）Σ_{ｋ＝0〜ｎ-1}（３ｋ−８）（−２）^ｋ−（２/９）ｎ

　ここで、　Ｓ_ｎ＝Σ_{ｋ＝0〜ｎ-1}（３ｋ−８）（−２）^ｋ　とおくと、

　−２Ｓ_ｎ＝Σ_{ｋ＝0〜ｎ-1}（３ｋ−８）（−２）^ｋ+1　なので、辺々引いて、

　３Ｓ_ｎ＝−８＋３｛（−２）¹＋（−２）²＋・・・＋（−２）^ｎ-1｝−（３ｎ−１１）（−２）^ｎ

　　　　＝−８＋（−２）¹（１−（−２）^ｎ-1｝−（３ｎ−１１）（−２）^ｎ

　　　　＝−１０−（−２）^ｎ−（３ｎ−１１）（−２）^ｎ

　　　　＝−１０−（３ｎ−１０）（−２）^ｎ

なので、　Ｓ_ｎ＝｛−１０−（３ｎ−１０）（−２）^ｎ｝/３

　これを上式に代入して、

　a(n)＝１＋（２/９）｛−１０−（３ｎ−１０）（−２）^ｎ｝/３−（２/９）ｎ

　　　＝（１/２７）｛７＋（３ｎ−１０）（−２）^ｎ+1−６ｎ｝

　これは、ｎ＝０のときも成り立つ。

　よって、０以上の整数ｎに対して、数列の第ｎ項 ａ(ｎ) は、

　　ａ(ｎ)＝（１/２７）｛７＋（３ｎ−１０）（−２）^ｎ+1−６ｎ｝


＃５項間漸化式を解くのは多分生涯初めて．．．_カナ？何とか、５項間から４項間へ、そして
　４項間から３項間へ導くことが出来たので運良く解くことが出来ました。一般の５項間漸化
　式だと解ける気がしないですね！多分解けたのは、ＧＡＩ さんの親心でしょうか．．．。

　　最後の結果は、Ｓ（Ｈ）さんの結果と一致しているので安心しました。