広義積分（特に置換が関与した場合）での計算の手順が分からなくなります。

∫₀^∞ｘ/(1+ｘ²)²ｄｘ の広義積分を例に、教えていただきたいです。


　らすかるさんからのコメントです。（平成３０年７月３０日付け）

　1+ｘ²=t とおけば簡単に求まりますね。


（コメント）　らすかるさんのヒントを参考に計算を続けると、

　与式＝ (1/2)∫₁^∞1/t²ｄt＝(1/2)[−1/t]₁^∞＝１/２


　ブルートさんからのコメントです。（平成３０年７月３０日付け）

　1+ｘ²=t とおくことで、積分範囲が変わりますよね？


　らすかるさんからのコメントです。（平成３０年７月３０日付け）

　積分範囲は、0〜∞ が 1〜∞になります。


　ブルートさんからのコメントです。（平成３０年７月３０日付け）

　私は、0〜∞を1〜∞にして、その範囲で積分して答えが出ました。でも、limを使うわけでも
ないので、もはや広義積分じゃなくなってないか？と疑問に思っていました。

　0〜aを置換により、1〜a²+1に変えて、その区間で積分し、lim_a→∞を行うという解法でも同
じ答えに行きつきます。

　答えは同じですが、数学的には、正式にはどちらが正しいなどあるのでしょうか？お願いし
ます。


　らすかるさんからのコメントです。（平成３０年７月３０日付け）

　 ∫₀^∞ｘ/(1+ｘ²)²ｄｘ は、そもそも lim_t→∞∫₀^tx/(1+x²)² dxを略記したものです。ですから、
limを使うのが本来の形ですが、∫₀^∞ｘ/(1+ｘ²)²ｄｘ という記法が認められていますので、こ
れも「正しい」です。limを明示的に使わなくても、積分範囲が∞までならば広義積分ですし、
「1/t に t=∞ を代入して 0 とする」のも、本来は、lim_t→∞1/t=0　として求めているわけです
から、limを付けて、0〜a で計算しても同じになるのは当然ですね。