・定積分の公式                         ブルート 氏

 関数f(x)は区間[-a、a]で連続とする。次の等式が成り立つことを示せ。

(1) f(x)が奇関数の時、∫-aaf(x)dx=0

(2) f(x)が偶関数の時、∫-aaf(x)dx=2∫0af(x)dx

 この問題を教えてください。置換積分を使うのかなとは思いますが、どのように適用すれば
よいのか分かりません。


 らすかるさんからのコメントです。(平成30年7月29日付け)

 奇関数は、f(-x)=-f(x) 、偶関数は、f(-x)=f(x) です。

(1) ∫-aaf(x)dx=∫-a0f(x)dx+∫0af(x)dx

  第1項で、x=-t とすると、x=-a のとき、t=a、x=0 のとき、t=0 で、

  f(x)=f(-t)=-f(t)、dx=-dt なので、

  ∫-a0f(x)dx=∫a0(-f(t))(-dt)=-∫0af(t)dt=-∫0af(x)dx
                     (第2項と見た目を合わせるために、単純にtをxに置換)

となり、第2項を足して、0になります。

(2) ∫-aaf(x)dx=∫-a0f(x)dx+∫0af(x)dx

  第1項で、x=-t とすると、x=-a のとき、t=a、x=0 のとき、t=0 で、

  f(x)=f(-t)=f(t)、dx=-dt なので、

  ∫-a0f(x)dx=∫a0f(t)(-dt)=∫0af(t)dt=∫0af(x)dx

となり、第2項を足して、2∫0af(x)dxになります。


 ブルートさんからのコメントです。(平成30年7月30日付け)

 なるほど!解くことができました。とても分かりやすかったです。



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