関数f(x)は区間[-a、a]で連続とする。次の等式が成り立つことを示せ。

(1)　f(x)が奇関数の時、∫_-a^af(x)dx=０

(2)　f(x)が偶関数の時、∫_-a^af(x)dx=2∫₀^af(x)dx

　この問題を教えてください。置換積分を使うのかなとは思いますが、どのように適用すれば
よいのか分かりません。


　らすかるさんからのコメントです。（平成３０年７月２９日付け）

　奇関数は、f(-x)=-f(x)　、偶関数は、f(-x)=f(x)　です。

(1)　∫_-a^af(x)dx=∫_-a⁰f(x)dx+∫₀^af(x)dx

　　第1項で、x=-t　とすると、x=-a　のとき、t=a、x=0　のとき、t=0　で、

　　f(x)=f(-t)=-f(t)、dx=-dt　なので、

　　∫_-a⁰f(x)dx=∫_a⁰(-f(t))(-dt)=-∫₀^af(t)dt=-∫₀^af(x)dx
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（第2項と見た目を合わせるために、単純にtをxに置換）

となり、第2項を足して、0になります。

(2)　∫_-a^af(x)dx=∫_-a⁰f(x)dx+∫₀^af(x)dx

　　第1項で、x=-t　とすると、x=-a　のとき、t=a、x=0　のとき、t=0　で、

　　f(x)=f(-t)=f(t)、dx=-dt　なので、

　　∫_-a⁰f(x)dx=∫_a⁰f(t)(-dt)=∫₀^af(t)dt=∫₀^af(x)dx

となり、第2項を足して、2∫₀^af(x)dxになります。


　ブルートさんからのコメントです。（平成３０年７月３０日付け）

　なるほど！解くことができました。とても分かりやすかったです。


　よおすけさんからのコメントです。（令和３年２月１３日付け）

　関数f(x)の閉区間[-a,a]を２ｎ等分して、分点を

　-a[n-1]、-a[n-2]、・・・、-a[2]、-a[1]、0、a[1]、a[2]、・・・、a[n-2]、a[n-1]

とし、この等しい小区間の幅をΔx(デルタx)と書く。

　[-a[i]，-a[i-1]]、[a[i-1]，a[i]]からはそれぞれ-x[i]、x[i]をとることにすると、

∫_-a^af(x)dx=lim[Δx→0]Σ[k=1,n]{f(-x[i])+f(x[i])}Δx

　f(x)が奇関数のとき、f(-x[i])=-f(x[i]) だから、

∫_-a^af(x)dx=lim[Δx→0]Σ[k=1,n]{-f(x[i])+f(x[i])}Δx=lim[Δx→0]Σ[k=1,n] 0・Δx=0

　f(x)が偶関数のとき、f(-x[i])=f(x[i]) だから、

∫_-a^af(x)dx=lim[Δx→0]Σ[k=1,n]{-f(x[i])+f(x[i])}Δx=lim[Δx→0]Σ[k=1,n]{2f(x[i])}Δx
=2lim[Δx→0]Σ[k=1,n]{f(x[i])}Δx
=2∫₀^af(x)dx


（コメント）　私もらすかるさんのような方法でいつも示していましたが、よおすけさんの方法は
　　　　　　初見でした。よおすけさんに感謝します。