２以上の自然数ｎに対して、

　　ａ_ｎ＝（１−１/４）（１−１/９）（１−１/１６）・・・（１−１/ｎ²）

を考える。

　ａ₂＝３/４　、ａ₃＝２/３（＝４/６）　、ａ₄＝５/８　、・・・

ということから、　ａ_ｎ＝（ｎ＋１）/（２ｎ）　であることが推察されるが、

　１−１/ｎ²＝（ｎ²−１）/ｎ²＝（ｎ−１）（ｎ＋１）/ｎ²

であることを用いれば、

　ａ_ｎ＝（１・３）/２²・（２・４）/３²・（３・４）/４²・・・・・（ｎ−２）ｎ/（ｎ−１）²・（ｎ−１）（ｎ＋１）/ｎ²

で、ほとんどの因数が約分されて、　ａ_ｎ＝（ｎ＋１）/（２ｎ）　であることが分かる。

　したがって、　ｌｉｍ_ｎ→∞ ａ_ｎ＝１/２　すなわち、　Π_n=2^∞（１−１/ｎ²）＝１/２


（コメント）　意外にも、ａ_ｎ が平易な式で表現されることに驚きました。

　読者のために練習問題を残しておこう。

練習問題　３以上の自然数ｎに対して、

　　ａ_ｎ＝（１−４/９）（１−４/１６）（１−４/２５）・・・（１−４/ｎ²）

を考える。このとき、　Π_n=3^∞（１−４/ｎ²）　の値を求めよ。

（解）　ａ_ｎ＝（ｎ＋１）（ｎ＋２）/（６ｎ（ｎ−１））　なので、　Π_n=3^∞（１−４/ｎ²）＝１/６　　（終）