では、どんな行列Xが X^2=｛｛1，2｝，｛3，4｝｝の結果を起こせるか？
（コメント） 学習指導要領改訂で、平成２４年度（２０１２）より高校で履修しなくなった行列。
懐かしいですね！思わず計算してみたくなりました。私自身は、高校では行列は
学んでいなくて、大学に入ってからの線形代数学で学んだ口です。
いろいろな資料の整理などで行列の考え方は有用なのに、なぜ高校の数学から
消えたのか不思議です。もっとも平面上の回転移動などは、一次変換よりも複素
数平面での複素数計算の方が何となくしっくりきますが．．．。
さて、X^2＝｛｛1，2｝，｛3，4｝｝となる行列 Ｘ＝｛｛a，b｝，｛c，d｝｝について、
X^2−（a+d）Ｘ＋（ad-bc）Ｅ＝Ｏ （Ｅは単位行列、Ｏは零行列）
が成り立つ。成分比較をして、
１−a（a＋d）＋（ad−bc）＝０ ・・・（１） ２−b（a＋d）＝０ ・・・（２）
３−c（a＋d）＝０ ・・・（３） ４−d（a＋d）＋（ad−bc）＝０ ・・・（４）
このとき、a＋d≠０ で、a＋d＝１/k とおくと、 b＝２k 、c＝３k
（４）−（１）より、 ３＋（a−d）（a＋d）＝０ なので、 a−d＝−３k
よって、ａ＝(１−３k^2)/(２k) 、ｄ＝(１＋３k^2)/(２k)
これらを（１）に代入して整理すると、 ３３k^4−１０k^2＋１＝０
以上から、求める行列 Ｘ＝｛｛a，b｝，｛c，d｝｝は、
ａ＝(１−３k^2)/(２k) 、b＝２k 、c＝３k 、ｄ＝(１＋３k^2)/(２k)
ただし、ｋは、３３k^4−１０k^2＋１＝０ を満たす数（虚数）
らすかるさんからのコメントです。（平成３０年７月２１日付け）
３３k^4−１０k^2＋１＝０ を満たすｋを求めたところ、
ｋ＝{±√(√33+5)±i√(√33-5)}/√66 （複号任意）
となりました。
ＧＡＩ さんからのコメントです。（平成３０年７月２１日付け）
私もある本を読みながら計算機で挑戦していたら、 Ｘ＝｛｛a，b｝，｛c，d｝｝とした時、近似値
として（Iを虚数単位とする。）
a=0.55368856714591119667285937751635193761 + 0.46439416283907068799073611095400630672*I
b=0.80696072701321636663579424969255099235 - 0.21242647876640201478127449331973045847*I
c=1.2104410905198245499536913745388264885 - 0.31863971814960302217191173997959568770*I
d=1.7641296576657357466265507520551784261 + 0.14575444468946766581882437097441061902*I
位にすれば、
ａ＝1.0000000000000000000000000000000000000 + 0.E-38*I
ｂ＝2.0000000000000000000000000000000000000 - 2.938735877055718770 E-39*I
ｃ＝3.0000000000000000000000000000000000000 - 2.938735877055718770 E-39*I
ｄ＝4.0000000000000000000000000000000000000 - 2.938735877055718770 E-39*I
にはなるようです。
ということで、Y^2＝｛｛7，10｝，｛15，22｝｝を満たすYはもちろん Y＝｛｛1，2｝，｛3，4｝｝ではあ
りますが、
Y＝｛｛1.5666989036012805435956213095142534504，1.7407765595569783817729125661269482783｝，
｛2.6111648393354675726593688491904224174，4.1778637429367481162549901587046758678｝｝
としても
Y^2＝｛｛7.0000000000000000000000000000000000000，10.000000000000000000000000000000000000｝，
｛15.000000000000000000000000000000000000，22.000000000000000000000000000000000000｝｝
という事が起こってしまいます。
Ｓ（Ｈ）さんからのコメントです。（平成３０年７月２１日付け）
Ｙ＝{{-3 Sqrt[3/11], -(10/Sqrt[33])}, {-5 Sqrt[3/11], -8 Sqrt[3/11]}} も在ります。
らすかるさんからのコメントです。（平成３０年７月２１日付け）
真値は、
a={√(√33+1)+i√(√33-1)}/√22 、b={√(2√33+10)-i√(2√33-10)}/√33
c={√(3√33+15)-i√(3√33-15)}/√22 、d={√(3√33+17)+i√(3√33-17)}/√11
でした。
