れない。
そこで、nを自然数とするとき、x^n+y^(n+1)=z^(n+2) の関係式を満たす組(x,y,z)はどうかに
ついてを調べてみることにする。
n=1: 2+5^2=3^3
n=2: 27^2+18^3=9^4
n=3: 256^3+64^4=32^5
と存在しないことはない。（(x,y,z)=1 の条件で存在するのかは不明）
n=4〜10 で、このような自然数の組(x,y,z)があるのかどうか、力を貸してほしい。
らすかるさんからのコメントです。（平成３０年７月１２日付け）
nが奇数のとき、a=(n+1)^2/2、b=n(n+1)/2、c=(n^2+1)/2 とすれば、
(2^a)^n+(2^b)^(n+1)=(2^c)^(n+2)
nが偶数のとき、a=n(n+1)/2、b=n^2/2、c=(n^2-n+2)/2 とすれば、
(2^a*3^(n+2))^n+(2^b*3^(n+1))^(n+1)=(2^c*3^n)^(n+2)
という一般形から計算すると、
4^1+2^2=2^3
648^2+108^3=36^4
256^3+64^4=32^5
746496^4+62208^5=10368^6
262144^5+32768^6=8192^7
13759414272^6+573308928^7=47775744^8
4294967296^7+268435456^8=33554432^9
4057816381784064^8+84537841287168^9=3522410053632^10
1125899906842624^9+35184372088832^10=2199023255552^11
19147179916555230117888^10+199449790797450313728^11=4155203974946881536^12
ＧＡＩ さんからのコメントです。（平成３０年７月１２日付け）
よくこんな一般解を思いつけますね。ほんとに不思議です。真似をしようと、
a^(n+2)+b^(n+1)=c^n
の自然数の組(a,b,c)を作ってみようと挑戦し続けていましたが、跳ね返され続けています。
これの一般解は存在しますか？
らすかるさんからのコメントです。（平成３０年７月１３日付け）
nが奇数のとき、a=(n-1)(n+1)/2、b=(n-1)(n+2)/2、c=(n^2+2n-1)/2 とすれば、
(2^a)^(n+2)+(2^b)^(n+1)=(2^c)^n
nが偶数のとき、a=(n-2)(n+1)/2、b=(n-2)(n+2)/2、c=(n^2+n-4)/2 とすれば、
(2^(3n)*3^a)^(n+2)+(2^(3(n+1))*3^b)^(n+1)=(2^(3(n+2))*3^c)^n
n=1〜10 の実際の値は、
1^3+1^2=2^1
64^4+512^3=12288^2
16^5+32^4=128^3
995328^6+23887872^5=1719926784^4
4096^7+16384^6=131072^5
1253826625536^8+90275517038592^7=19499511680335872^6
16777216^9+134217728^8=2147483648^7
127936296134683656192^10+27634239965091669737472^9=17906987497379401989881856^8
1099511627776^11+17592186044416^10=562949953421312^9
1057389704732756308100533714944^12+685188528666826087649145847283712^11
=1332006499728309914389939527119536128^10
ＧＡＩ さんからのコメントです。（平成３０年７月１３日付け）
やっていくうちに段々と慣れてきました。
[2^(n+1)^2*3^(n+2)]^n+[2^(n*(n+1))*3^(n+1)]^(n+1)
=2^(n*(n+1)^2)*3^(n*(n+2))+2^(n*(n+1)^2)*3^(n+1)^2
=2^(n*(n+1)^2)*3^(n*(n+2))*(1+3)
=2^(n*(n+1)^2+2)*3^(n*(n+2))
=2^(n^3+2*n^2+n+2)*3^(n*(n+2))
=2^((n+2)*(n^2+1))*3^(n*(n+2))
=[2^(n^2+1)*3^n]^(n+2)
これより、a^n+b^(n+1)=c^(n+2) を満たす自然数解は、
a=2^(n+1)^2*3^(n+2) 、b=2^(n*(n+1))*3^(n+1) 、c=2^(n^2+1)*3^n
また、
[2^((n-1)*(n+1))*3^n]^(n+2)+[2^((n-1)*(n+2))*3^(n+1)]^(n+1)
=2^((n-1)*(n+1)*(n+2))*3^(n*(n+2))+2^((n-1)*(n+1)*(n+2))*3^(n+1)^2
=2^((n-1)*(n+1)*(n+2))*3^(n*(n+2))*(1+3)
=2^((n-1)*(n+1)*(n+2)+2)*3^(n*(n+2))
=2^(n*(n^2+2*n-1))*3^(n*(n+2))
=[2^(n^2+2*n-1)*3^(n+2)]^n
これより、a^(n+2)+b^(n+1)=c^n を満たす自然数解は、
a=2^((n-1)*(n+1))*3^n 、b=2^((n-1)*(n+2))*3^(n+1) 、c=2^(n^2+2*n-1)*3^(n+2)
とすれば奇遇に分けなくてもすみますね。
いやー、指数法則は知ってはいるが、とても使いこなしているとは言えない。これに、
(a,b,c)=1の条件を入れると途端に手も足もでなくなります。
らすかるさんからのコメントです。（平成３０年７月１４日付け）
「A096741」のLINKSの2行目、Dario Alpern,…の行のリンク先に、
a^2+b^3=c^4 と a^4+b^3=c^2 の(a,b,c)=1の解がありました。7タイプの一般形の式も載って
いますが、すごい式です。
# URLをそのまま投稿したらエラーになりましたので、リンク元を載せました。
ＧＡＩ さんからのコメントです。（平成３０年７月１４日付け）
この情報を元にサイトを見ていたら、
”Don Zagier found six parameterizations for x4 + y3 = z2.”
の記事を見る。
時々You Tubeでこの人の講演映像を見ることがあるが、２時間以上の講演でも常に動き
回り、絶え間なくしゃべり続けている様子で、もの凄いエネルギーを感じます。4,5ｹ国語は喋
れる感じで、16歳で大学終了、24歳で大学教授職と現在のまさに天才と呼ぶに相応しい方
です。
数論の本をみているとしばしば名前を見かけ、あらゆる分野に精通し画期的な成果を残し
ている印象があります。
しかし、6つもこんな式を編み出すなんて･･･。
あーそうそう、前の問題での残り一パターンで、 a^(n+2)+b^n=c^(n+1) に対する一般解を
作っていたんですが、これが手ごわくまだ完成していません。よかったら挑戦願います。
（へんな形では一応見つけてはいるんですが、満足できなく・・・）
らすかるさんからのコメントです。（平成３０年７月１４日付け）
例えば、
{2^((n-1)(n+1))*5^n}^(n+2)+{2^(n^2+2n-1)*5^(n+2)}^n
=2^((n-1)(n+1)(n+2))*5^(n(n+2))+2^(n(n^2+2n-1))*5^(n(n+2))
=2^((n-1)(n+1)(n+2))*(2^0+2^2)*5^(n(n+2))
=2^((n-1)(n+1)(n+2))*5^((n+1)^2)
={2^((n-1)(n+2))*5^(n+1)}^(n+1)
nに1〜6を代入すると
5^3+500^1=25^2
200^4+80000^2=2000^3
32000^5+51200000^3=640000^4
20480000^6+131072000000^4=819200000^5
52428800000^7+1342177280000000^5=4194304000000^6
536870912000000^8+54975581388800000000^6=85899345920000000^7
DD++さんからのコメントです。（平成３０年７月１４日付け）
互いに素でなくてもよい場合、
・A, B, C のうち小さい2つの和が残り1つになる
・A と C は平方数
の2つを満たす自然数 A、B、C を用いて、
a = (√A)^(n^2+2n-1) * B^(n+2) * (√C)^(n^2+2n+1)
b = (√A)^(n^2+n-2) * B^(n+1) * (√C)^(n^2+n)
c = (√A)^(n^2-1) * B^(n) * (√C)^(n^2+1)
と定めると、a^n, b^(n+1), c^(n+2) のうち小さい2つの和が残り1つになりますね。
（これらの大小は、元の A, B, C の大小に一致）
例えば、a^n + b^(n+1) = c^(n+2) の解を作りたければ、A + B = C となるように用意すれば
いいので、一例として、A=1、B=3、C=4 とすれば、
a = 3^(n+2) * 2^(n^2+2n+1)
b = 3^(n+1) * 2^(n^2+n)
c = 3^(n) * 2^(n^2+1)
で、GAIさんと同じ式が得られますし、別の例として、A=4、B=5、C=9 とすれば、
a = 2^(n^2+2n-1) * 5^(n+2) * 3^(n^2+2n+1)
b = 2^(n^2+n-2) * 5^(n+1) * 3^(n^2+n)
c = 2^(n^2-1) * 5^(n) * 3^(n^2+1)
というような式も得られます。
a^(n+2)+b^n=c^(n+1) の場合はちょっと文字を入れ替えて、c^(n+2) + a^n = b^(n+1) で
考えると、C + A = B となるように用意すればいいので、一例として、A=1、B=5、C=4 とすれ
ば、
a = 5^(n+2) * 2^(n^2+2n+1)
b = 5^(n+1) * 2^(n^2+n)
c = 5^(n) * 2^(n^2+1)
でらすかるさんの解になりますね。もちろん、他の A、B、C を取れば、別の形の解も得られ
ます。（ところでこれ、一般解という名称を使っていいのでしょうか？）
互いに素な場合についての話は、n＞2 については、Beal conjecture （未解決問題）の一
部分になりますね。
