高校２年になると、高次方程式を学ぶ。旧学習指導要領では「数学Ｂ」に含まれていたこ
とを考えると、「数学ＩＩ 」に移行したことにより、高次方程式を学ぶ高校生が増えることは確
実だろう。ただ、昨今の選択科目の大幅導入により、今までほぼ全員「数学ＩＩ 」を学んでい
たのが、「数学ＩＩ 」を選択科目に設定している高校が大幅に増えてきており、高校２年生は
全員「数学ＩＩ 」を学んでいると考えるわけにはいかなくなりつつある。
ある統計によれば、ある県の高校の「数学ＩＩ 」の必修になっている割合は、３６．８％に過
ぎず、残りは選択に甘んじている。従って、高校２年で「数学ＩＩ 」を学ぶ割合は、７割ぐらい
だろう。数学に対する風当たりが厳しい昨今ながら、残念なことである。
教科書では因数定理の応用として高次方程式が扱われ、あたかも、全ての３次方程式が
因数定理を用いると解かれるような錯覚を覚えさせられる。
しかしながら、一般的に３次方程式を解くことは困難である。むしろ解くことは、諦めた方が
よいという場合がほとんどである。もちろん、２次方程式の解の公式と同様に、３次方程式の
解の公式も存在するが、個人的には、あまりなじめない。
一般に、解くことは諦めた方がよい３次方程式であるが、次のような解法を見せられると、
思わず引き込まれてしまうから不思議だ。
例 ３次方程式 Ｘ3＋Ｘ2−２Ｘ−１＝０ を解け。
グラフの解析を行うことにより、この３次方程式は、−２ と −１ の間、−１ と ０ の間、１
と ２ の間にそれぞれ一つずつ解を持つことが分かる。しかし、その解を因数定理を用いて
求めることは難しい。
いま、Ｘ＝Ｙ＋１/Ｙ とおく。
（Ｙはもちろん複素数とする。Ｙが実数だと、| Ｘ |≧２ となって、意味をなさない。）
このとき、３次方程式に代入して、分母を払い整理すれば、
Ｙ6＋Ｙ5＋Ｙ4＋Ｙ3＋Ｙ2＋Ｙ＋１＝０
となる。両辺に、Ｙ−１ を掛ければ、
Ｙ7−１＝０
となる。したがって、Ｙ は、（１と異なる）１の７乗根である。
１の７乗根は、Ｙ＝ｅｘｐ（２ｎπｉ/７） （ｎ＝１、２、３、４、５、６ ｉ は虚数単位） と書ける。
このとき、Ｘ＝Ｙ＋１/Ｙ＝２ｃｏｓ（２ｎπ/７） となる。
ｎ＝１、２、３、４、５、６ を代入して異なるものを求めれば、３次方程式の解は、
−２ｃｏｓ（π/７） 、−２ｃｏｓ（３π/７） 、２ｃｏｓ（２π/７）
となる。
