次の東北大学 後期文系（２００４）の問題は、線形結合に関する問題である。
問題 平面上の単位ベクトル ａ、ｂ、ｃ、ｄ があり、以下の関係を満たすとする。
ａ⊥ｄ 、ｂ⊥ｃ 、ａ・ｂ＝ｋ （−１＜ｋ＜１） 、ａ・ｃ＞０ 、ｂ・ｄ＞０
（１） Ｆ＝ｐａ＋ｑｂ と表されるベクトルＦを考える。係数 ｐ および ｑ をベクトル Ｆ、ａ、ｂ
の内積とｋを用いてそれぞれ表せ。
（２） ベクトル ｃ および ｄ を ａ、ｂ、ｋ を用いて、それぞれ表せ。
（３） ベクトルＧが Ｇ＝ｒｃ＋ｓｄ と表されるとき、（１）で与えられたベクトルＦとの内積Ｆ・Ｇ
を ｋ、ｐ、ｑ、ｒ、ｓ を用いて表せ。
（解）（１） Ｆ・ａ＝ｐ＋ｋｑ 、Ｆ・ｂ＝ｋｐ＋ｑ より、ｑ を消去して、
（１−ｋ2）ｐ＝Ｆ・ａ−ｋＦ・ｂ から、 ｐ＝（Ｆ・ａ−ｋＦ・ｂ）/（１−ｋ2）
同様にして、 ｑ＝（−ｋＦ・ａ＋Ｆ・ｂ）/（１−ｋ2）
（２） ｃ＝ｍａ＋ｎｂ とおくと、 ｃ・ｂ＝ｋｍ＋ｎ＝０ より、 ｎ＝−ｋｍ
ｃ・ｃ＝ｍ2＋２ｍｎｋ＋ｎ2＝１ に代入して、 ｍ2−２ｍ2ｋ2＋ｍ2ｋ2＝１ より、
（１−ｋ2）ｍ2＝１
ここで、 ａ・ｃ＞０ より、 ｍ＋ｋｎ＝（１−ｋ2）ｍ＞０ で、−１＜ｋ＜１ より、 ｍ＞０
よって、 ｍ＝１/√（１−ｋ2） で、 ｎ＝−ｋ/√（１−ｋ2）
したがって、 ｃ＝（１/√（１−ｋ2））ａ＋（−ｋ/√（１−ｋ2））ｂ＝（ａ−ｋｂ）/√（１−ｋ2）
同様にして、 ｄ＝（−ｋａ＋ｂ）/√（１−ｋ2）
（３） Ｆ・Ｇ
＝｛（Ｆ・ａ−ｋＦ・ｂ）ａ＋（−ｋＦ・ａ＋Ｆ・ｂ）ｂ｝/（１−ｋ2）・｛ｒｃ＋ｓｄ｝
＝｛ｒ（Ｆ・ａ−ｋＦ・ｂ）ａ・ｃ＋ｓ（−ｋＦ・ａ＋Ｆ・ｂ）ｂ・ｄ｝/（１−ｋ2）
ここで、 ａ・ｃ＝√（１−ｋ2） 、ｂ・ｄ＝√（１−ｋ2） なので、
Ｆ・Ｇ＝｛ｒ（Ｆ・ａ−ｋＦ・ｂ）＋ｓ（−ｋＦ・ａ＋Ｆ・ｂ）｝/√（１−ｋ2）
＝ｒｐ√（１−ｋ2）＋ｓｑ√（１−ｋ2）＝（ｐｒ＋ｑｓ）√（１−ｋ2） （終）
（追記） 令和７年１２月２９日付け
次の東北大学 前期理系（２００５）の問題は、基本的な問題だろう。
問題 ０＜ｔ＜１/２ とし、平面上のベクトル ａ、ｂ と単位ベクトル ｅ が
（イ） （１−ｔ）ａ＋ｔｂ＝ｅ
（ロ） （１−ｔ）（ａ＋ｅ）＝ｔ（ｂ＋ｅ）
を満たすとする。さらに、平面上のベクトル ｘ があって、ｘ−ａ と ｘ−ｂ が垂直で、長さ
の比が ｔ ： １−ｔ となるとする。このとき、内積 ｘ・ｅ を ｔ で表せ。
（解） （１−ｔ）ａ＋（１−ｔ）ｅ＝ｔｂ＋ｔｅ＝ｅ−（１−ｔ）ａ＋ｔｅ より、 （１−ｔ）ａ＝ｔｅ
よって、 ａ＝（ｔ/（１−ｔ））ｅ
また、 ｔｅ＋ｔｂ＝ｅ より、 ｂ＝（（１−ｔ）/ｔ）ｅ なので、
ａ・ｂ＝１ 、ａ＋ｂ＝（ｔ/（１−ｔ））ｅ＋（（１−ｔ）/ｔ）ｅ＝｛（２ｔ2−２ｔ＋１）/（ｔ（１−ｔ））｝ｅ
｜ｘ−ａ｜：｜ｘ−ｂ｜＝ｔ ： １−ｔ より、｜ｘ−ｂ｜＝（（１−ｔ）/ｔ）｜ｘ−ａ｜
すなわち、
｜ｘ−（（１−ｔ）/ｔ）ｅ｜＝（（１−ｔ）/ｔ）｜ｘ−（ｔ/（１−ｔ））ｅ｜＝｜（（１−ｔ）/ｔ）ｘ−ｅ｜
両辺を平方して、
｜ｘ｜2−２（（１−ｔ）/ｔ）ｘ・ｅ＋（（１−ｔ）/ｔ）2＝（（１−ｔ）/ｔ）2｜ｘ｜2−２（（１−ｔ）/ｔ）ｘ・ｅ＋１
より、
（１−（（１−ｔ）/ｔ）2）｜ｘ｜2＝１−（（１−ｔ）/ｔ）2
ここで、０＜ｔ＜１/２ より、１−（（１−ｔ）/ｔ）2≠０ なので、 ｜ｘ｜2＝１ となる。
よって、 （ｘ−ａ）・（ｘ−ｂ）＝｜ｘ｜2−（ａ＋ｂ）・ｘ＋ａ・ｂ に代入して、
１−｛（２ｔ2−２ｔ＋１）/（ｔ（１−ｔ））｝ｘ・ｅ＋１＝０ より、
｛（２ｔ2−２ｔ＋１）/（ｔ（１−ｔ））｝ｘ・ｅ＝２
すなわち、 ｘ・ｅ＝２ｔ（１−ｔ）/（２ｔ2−２ｔ＋１） （終）
以下、工事中！